利用面积射影定理快速解立体几何题目

对于任何考试（例如高考），本质教育有一条重要的原则：

那些考试拿高分的，一定是简单的题目做得又快又对，这样他们才有时间去思考难题。

因此，适当地掌握一些教材中没有提到，但是可以加速解题过程的公式和定理，对提高解题速度，尤其是选择和填空题的解题速度极为有效。

定理26：面积射影定理

如图，设平面α外的△ABC在平面α内的射影为△ABO，分别记△ABC的面积和△ABO的面积为S和S′，记△ABC所在平面和平面α所成的二面角为θ，则

定理证明：

思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。

在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算即可。

证明：如上图，作△ABC的AB边上的高CD，垂足为D，连OD，易知OD⊥AB，故∠CDO即为二面角C-AB-O的平面角，即∠CDO=θ

通过这一简单的结论，我们可以秒杀一些立体几何的题目。需要说明的是：理科生使用建系解题更快，但是对于没有学习建系知识的文科生，记住这一结论可以有效的解决类似的题目

接下来，我们用1道高考题来展示一下这个公式的简便性与实用性，希望同学们仔细理解。

例2　（2015全国）已知三棱柱 中各侧面与底面所成的二面角都是 ，且 三边长分别为7、8、9，则三棱锥的侧面积为（ ）

分析：

首先，使用本质教育第1招-翻译，将图像画出来，如图所示

此时，只需要使用本质教育第3招-盯住目标，联想上述的公式：

联想我们前面第13篇文章中讲过的三角形面积的高中包含的所有求法—可选取海伦公式

如果利用好这个公式，我们就能多一条思考的路径，可简化很多繁琐的运算，即可迅速解出答案！

关注公众号（ID：essence150）下载本文讲义返回搜狐，查看更多

责任编辑：