剩余倍分法解决中国剩余定理弊端

以往，由于人们在使用、处理，或者讨论、研究中国剩余定理（孙子定理、同余）的问题时，人们往往只考虑m1,m2,m3,（modM）模自身求乘率M。从而忽略了模与模还是一种相互平等对称关系的新概念探索！特别在同余两两互素求乘率时，人们又把精力的重点集中放在只考虑a 的求乘率、而忽略b 的求乘率！且不考虑模与模a ，b两两互素之间的对称关系的新概念，笼统给出的这样MiMi ≡1(modM) 条件必有解。更没有考虑模与模之间相互对称，必然有时存在的隐性“不完全商”而造成（-1）负余数现象。根据a ，b是相互同等对称关系的新概念，他们之间必然存在各自的乘率、反乘率（倍数）、乘数、反乘数。由于这种隐性现象的必然存在，长期没有被人们发现，所以导致很长一段时间“中国剩余定理”没有获得完美完善的解决方案。

“剩余倍分法”对于以上“孙子定理”出现的问题，根据自然法则中一定存在“不完全商”形成的负余数的性质与概念，均获得较为深入研究，且对模两两互素余数为正、负的问题同步得到解决，进而推出此类问题有较为完善公式及同步解决方案，此外，上述方法在反解问题上的研究及在深度、广度上也能令人满意。以上所述的剩余倍分法对于同余、辗转相除法、同余式组、二元一次不定方程问题有着相对完善的解决方案，且使用范围较广，可作为解决该类问题的一般方法推广。

剩余倍分法的优势

1. 剩余倍分法之倍分式计算简便，只通过简单的移位运算和四则运算即可实现，计算

所用的时间较同类的其他方法更少，其算法的时间复杂度与空间复杂度均较低。

2. 剩余倍分法的使用范围较广，既可以应用于初等数论中解决同余式、同余式组和二元一次不定方程的相关问题，亦可用于解决计算机算法、计算机辅助设计、最优 HASH 函数设计、快速傅里叶变换，以及环论、域论等领域中的相关问题。

3. 剩余倍分法将两两互素的模放在同等对称的地位，引入了反乘数和反乘率的概念，考虑了负余数以及所获解数的正、反性质，从而将获解答案稳定在非负数的范围内。

4. 剩余倍分法可同时求解反乘数、反乘率，从而得出两两互素模之间存在的规律和性质，计算方法严谨且效率高。

5. 剩余倍分法求解的中间过程，每一步都具有实际的算数意义，不同于辗转相除法的中间过程，每一步都没有明显的实际意义。

6. 剩余倍分法具有同步纠错功能，计算过程中的每一步都可以自动检验，即若出现无法整除的情况，则意味着计算错误；只要计算出错，后续的步骤便无法进行，由此可保证计算的正确性。

7. 剩余倍分法所计算出的乘数、乘率、反乘数、反乘率可根据实际情况灵活选用，例如在大模数计算时，使用反乘率或反乘数代入计算，或可大大节省计算量。

8. 剩余倍分法的原理浅显准确，易于理解，且比起其他方法来更适用于计算机编程实现。

9. 在应用中国剩余定理定理时，按照通常的办法，是先做辗转相除法，再往回逐次算出寄数，这样得出的答案既可能是乘数，也可能是反乘数；而剩余倍分法是往回逐次算出乘数，最后的答案一定就是乘数，含义直观而明确。

10. 应用剩余倍分法可以完美地解决困扰人类多年的“蓍卦发微”“行程相及”等数学问题，不仅证明了秦九韶大衍求一术、大衍总数术演算方法的正确性，而且发现“行程相及”这类问题的计算方法已不再局限于求解同余式组一般的未知数，只用速度即可求出距离，而非通 常的用速度和时间求距离，算法极尽巧妙。

参考文献：

1陈永乐等《素数分布及其在RSA分析中的应用》西安交通大学出版社 ，2021.12

2《国家科技报告》服务系统405700021--201701D111002/01,