初学讲义之高中数学二十四：导数

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下面是正文：

导数是函数中最后的重要部分，非常有用

1.1 什么是导数

导数是函数，完整地叫应该是“导函数”，通常习惯叫“导数”，它是依附于原函数存在的函数。

导数表示函数的变化趋势，既可以表示函数整体的变化趋势，也可以表示部分的变化趋势，还可以表示某个点的变化趋势。

导数也可以粗糙地理解为“函数在某处的切线的斜率”。

关于导数严谨的定义、是否存在的判别、计算和使用会在大学重头开始详细学习，高中只要简单地知道导数表示变化率、会求导数、会简单地用导数分析函数的性质即可。

函数f(x)的导数通常用f'(x)来表示，在f的右上角加上小撇。

当导数为正时，函数的变化率是正的，也就是递增的；

当导数为负时，函数的变化率是负的，也就是递减的；

当导数为0时，函数的变化率是0，也就是不增也不减，不变。

1.2 具体例子

举2个非常简单、非常形象、已经学过的例子

例1 速度

小学数学就学过速度，也叫速率，表示运动物体运动的距离随时间的变化率，s=vt的公式大家都会。

高中物理开始严谨一些，会更专业地区分“位移”“速度”（向量）和“距离”“速率”（无方向的标量），公式还是s=vt，但是表示的内容不同了。

这里我们就用简单的小学数学知识：

一辆小车在水平直线上匀速运动，它运动的速率v是不变的，因此运动的距离与时间成正比，也就是s=vt，这里，速率v就是距离s随t的变化率，距离s可以看作是时间t的函数。

为了方便起见，我们用x代表时间（代替t），f(x)代表距离，就是函数：f(x)=vx

这里v就是函数的变化率，该函数的导数就是：f'(x)=v（后面会学如何求导）

表示在任何时刻，小车距离变化的趋势都是v，时间每增加一个小小的x，距离就增加vx

例2 自由落体运动

初中物理开始学的难一些了，开始学速度随时间变化的运动了，比如自由落体运动，涉及到两个公式：

公式v=gt的含义大家应该都清楚，g是重力加速度，约为9.8 m/s^{2}，表示自由落体运动的物体的速度每秒会增加9.8m/s

还是为了方便起见，我们用x代表时间（代替t），g(x)代表速度，9.8代替g，上述公式就是函数： g(x)=9.8x

对该函数求导可得： g'(x)=9.8 ，这就是速度的变化趋势，任何时候速度都有随着时间增加9.8 m/s^{2}的趋势

另一个公式 s=gt^{2}/2 就要稍微麻烦点了，它表示物体从静止开始自由落体下落的距离和时间的关系

例1中我们用f(x)代替了距离s，这里也这么做；例1和上面都用x代替时间t，这里也这么做；也用具体数字9.8代替g，上述公式就变成了函数：

f(x)=9.8x^{2}/2 （这里的9.8和2不要约分，留着后面有用）

对这个函数求导可得： f'(x)=9.8x （具体如何求导后面会讲，这里先用结论），这就是下落距离随时间变化的关系，有没有觉得眼熟？

上面刚刚写了 g(x)=9.8x ，这里f'(x)也等于9.8x，因此f'(x)=g(x)

再回想例1中讲到的速度的定义：距离随时间的变化率，这里f'(x)就是距离随时间的变化率，也就是g(x)

自由落体运动的速度随时间改变，除了用加速度乘以时间外，直接对距离-时间的函数求导，得到的就是距离-时间的变化率，也就是速度。

以上两个例子应该比较形象地说明了什么是导数：就是变化率。

基本函数导数的推导超出了高中的要求，内容比较多，需要花相当时间和精力理解，对高考的帮助接近于零，因此不再给出，需要牢牢地记下来。

注意：

以下基本函数都是最最基本的函数，也就是说除了x和必须的部分外，不能有其他任何“杂质”。

比如单项式函数就是 x^{c} （c为常数且c≠0），不是 (x+2)^{c} 、