第十四讲函数的求导法则

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第十四讲函数的求导法则

2023-10-28 12:30| 来源: 网络整理| 查看: 265

写在前面的话

这一讲主要是讲了基本初等函数及其反函数、复合函数的求导公式。这些公式需要反复记忆。

我在证明和解题过程中用到了一些之前的知识点，如果你印象不是很深刻了，还是回去好好理解一下，权当复习了。不知道哪位大师说过那么一句话：把书从从薄读到厚，再从厚读到薄。简言之就是反复。

对了，我觉得有必要说一下直接函数与其反函数的事儿：

图1

图2

上面两张图分别是 $y=\ln x$ 和 x=e^y 两个函数互为反函数：

① 两个函数都是单调的，否则，若一个函数不单调，另一个函数的函数值会出现自变量对应多个函数值的情况，这就不是一个函数了，所以一个函数必须单调才能保证具有反函数（如图3）。

② 上面两个函数的和具有相同的取值范围： $x\in (0,+\infty)$ ， $y\in (0,+\infty)$ ，其实它们是公用一套域和域的，只是映射条件互逆罢了。亦即，两个函数的 x,y 是同一个东东。所以再后面反函数的求导法则中，不必迷惑。

图3

③ 像图3这样 y=x^2 就不存在反函数，因为如果把当作自变量，那么会出现同一个自变量对应两个“函数值”，所以要使函数有反函数，必须单调才行。

这也是为什么下面反函数的求导法则中强调直接函数是单调的了。

好了，记住这三点，我们再反函数求导时就不要疑惑了，小伙伴们，我们共同学习吧~

有错误，还请指正，我会及时纠正。

一、函数的和、差、积、商的求导法则

定理1 如果函数 u=u(x) 及 v=v(x) 都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点具有导数，且有 $\begin{cases} [u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)\qquad (1)\\ [u(x)v(x)] '=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\qquad (2)\\ [\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}(v(x)\ne 0)\qquad (3)\end{cases}$

证明：式 (1) $[u(x)\pm v(x)]'\xlongequal[把u(x)\pm v(x)看作整体函数]{由导数的定义，差商的极限}\\\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{[u(x+\Delta x)\pm v(x+\Delta x)]-[u(x)\pm v(x)]}{\Delta x}\\=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]\pm [v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}\\\xlongequal{极限和、差的运算法则}\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\pm \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\\\xlongequal{差商的极限--导数 }u'(x)\pm v'(x)$

式 (2) $[u(x)v(x)]'\\\xlongequal[把u(x)v(x)看作整体函数]{差商的极限}\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}\\=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]\cdot v(x+\Delta x)+[v(x+\Delta x)-v(x)]\cdot u(x)}{\Delta x}\\=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Big{[}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\cdot v(x+\Delta x)+\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\cdot u(x)\Big{]}\\\xlongequal{极限和的运算法则}\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\cdot v(x+\Delta x)+\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\cdot u(x)\\\xlongequal[其中，差商的极限--导数]{对两项分别运用极限积的运算法则}u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

其中，之所以 $\lim\limits_{\Delta x\to 0}v(x+\Delta x)=v(x)$ ，是因为 v(x) 可导 $\Rightarrow$ 连续，极限值等于函数值（戳我了解）。

式 (3)

$\Big{[}\frac{u(x)}{v(x)}\Big{]}'\\\xlongequal[把\frac{u(x)}{v(x)}看作整体]{差商的极限}\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x}\\=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)v(x)}{v(x+\Delta x)v(x)}-\frac{u(x)v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)v(x)}}{\Delta x}\\=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x}\\=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x}\\=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x)-u(x)\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}{v(x+\Delta x)v(x)}\\=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

注：① 定理1的结论可简写为： $\begin{cases}(u\pm v)'=u'\pm v' \\(uv)'=u'v+uv'\\(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \end{cases}$

② 定理1中的式 (1)、(2) 可推广到任意有限个可导函数的情形，比如 u=u(x)、v=v(x)、w=w(x) 均可导，则有

$\Big{(}u+v-w\Big{)}'\xlongequal{把u+v看作整体}(u+v)'-w'=u'+v'-w'$

$(uvw)'\xlongequal{把uv看作整体}(uv)'w+uvw'=u'vw+uv'w+uvw'$

③ 在式 (2) 中，当 v(x)=C （为常数）时，有 (Cu)'=Cu'

例1. y=2x^3-5x^2+3x-7 ，求。

解： $y'=(2x^3-5x^2+3x-7)'\\\xlongequal{根据和差的求导法则}(2x^3)'-(5x^2)'+(3x)'-(7)'\\=2\cdot 3x^2-5\cdot 2x+3-0=6x^2-10x+3$

例2. $f(x)=x^3+4\cos x-\sin \frac{\pi }{2}$ ，求 f'(x) 及 $f'(\frac{\pi}{2})$ 。

解： $f'(x)=(x^3+4\cos x-\sin \frac{\pi}{2})'\\\xlongequal{和差的求导法则}(x^3)'+(4\cos x)'-(\sin \frac{\pi}{2})'\\=3x^2-4\sin x-0=3x^2-4\sin x$

$f'(\frac{\pi}{2})=3\times (\frac{\pi}{2})^2-4\sin (\frac{\pi}{2})=\frac{3}{4}\pi^2-4$ 。

例3. $y=e^x(\sin x+\cos x)$ ，求。

解： $y'=\Big{[}e^x(\sin x+\cos x)\Big{]}'\\\xlongequal{积的求导法则}(e^x)'(\sin x+\cos x)+e^x(\sin x+\cos x)'\\=e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)\\=e^x(\sin x+\cos x+\cos x-\sin x)=2e^x\cos x$

例4. $y=\tan x$ ，求。

解： $y'=(\tan x)'=\Big{(}\frac{\sin x}{\cos x}\Big{)}'\\\xlongequal{商的求导法则}\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x}\\=\frac{\cos ^2 x+\sin ^2 x}{\cos ^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$

这正式正切函数的求导公式，可直接作为结论。

例5. $y=\sec x$ ，求。

解： $y'=(\sec x)'=\Big{(}\frac{1}{\cos x}\Big{)}'\\\xlongequal{商的求导法则}\frac{(1)'\cos x-1(\cos x)'}{\cos^2 x}\\=\frac{0\cdot \cos x+\sin x}{\cos ^2 x}=\frac{\sin x}{\cos ^2 x}=\frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=\sec x\tan x$

这是正割的求导公式，可作为结论。另外余切函数和余割函数的求导公式为 $\begin{cases} (\cot x)'=-\csc^2 x\\(\csc x)'=-\csc x\cot x\end {cases}$

二、反函数的求导法则

定理2 如果函数 $x=\varphi (y)$ 在区间 I_y 内单调、可导且 $\varphi'(y)\ne 0$ ，则它的反函数 y=f(x) 在对应的区间 I_x 内也可导且 $f'(x)=\frac{1}{\varphi'(y)}$ 。

证明：第①步：由于 $x=\varphi(y)$ 在区间 I_y 上单调可导，故 $\varphi(y)$ 在 I_y 上单调连续（可导 $\Rightarrow$ 连续，戳我了解）。从而它的反函数 y=f(x) 在 I_x 上单调连续（戳我了解）。

第②步：又因为当 $x\in I_x$ ， $x+\Delta x \in I_x$ 时， f(x) 单调，所以 $f(x+\Delta x)\ne f(x)$ ，即 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\ne 0$ 。所以 $\frac{\Delta y}{\Delta x}\xlongequal[分子分母同除以\Delta y]{f(x)单调，\Delta y\ne 0}\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}$ ，

第③步：又因为 f(x) 连续，根据连续定义（戳我了解），当 $\Delta x\to 0$ 时， $\Delta y\to 0$ 。所以 $f'(x)\xlongequal{差商的极限}\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\xlongequal[故当\Delta x\to 0时，\Delta y\to 0]{f(x)连续}\lim\limits_{\Delta y\to 0}\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}\xlongequal[刚好是\varphi'(y)]{分母是差商的极限}\frac{1}{\varphi'(y)}$

证毕。

简言之，反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

例6.设 $x=\sin y,y\in\Big{[}-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big{]}$ 为直接函数，则 $y=\arcsin x$ 是它的反函数。函数 $x=\sin y$ 在开区间 $I_y=\Big{(}-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big{)}$ 内单调、可导，且在该区间内导数为 $(\sin y)'=\cos y0$ （不等于）。

因此，在对应区间 I_x=(-1,1) 由反函数的导数为直接函数导数的倒数： $(\arcsin x)'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac{1}{\cos y} \qquad (4)$ ， $\cos y=\sqrt{\cos ^2y}=\sqrt{1-\sin ^2y}\qquad (5)$ 。这里要注意的是在区间 $I_y=\Big{(}-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big{)}$ 内 $\cos y0$ ，所以能够保证 $\sqrt{\cos^2y}=\cos y$ 而非 $\sqrt{\cos^2y}=|\cos y|=\pm \cos y$ ，即 (5) 式在这里是成立的，不必有疑问。

结合式 (4)、(5) 有： $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^2 y}}\xlongequal[x=\sin y]{根据直接函数的表达式}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ，此为反正弦函数的求导公式。

类似地，反余弦函数的导数公式： $(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 。

例7.设 $x=\tan y$ 是直接函数， $y\in I_y=\Big{(}-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big{)}$ ，则 $y=\arctan x$ 是它的反函数，函数 $x=\tan y$ 在 $I_y=\Big{(}-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big{)}$ 内单调、可导，且在该区间内 $(\tan y)'=\sec^2 y\ne 0$ ，而 $\sec^2y=\frac{1}{\cos^2 y}=\frac{\sin ^2y+\cos^2y}{\cos^2y}=1+\tan^2y$ ，所以 $(\tan y)'=1+\tan^2y\xlongequal[x=\tan y]{根据直接函数的表达式}=1+x^2$ 。

而反函数的导数为直接函数导数的倒数： $(\arctan x)'=\frac{1}{(\tan y)'}=\frac{1}{1+x^2}$ 。

类似地，反余弦函数的表达式： $(arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}$ 。

例8.设 $x=a^y(a0,a\ne 1)$ 为直接函数，则 $y=\log_ax$ 是它的反函数，函数 x=a^y 在区间 $I_y=(-\infty,+\infty)$ 内单调、可导，且在该区间内 $(a^y)'=a^y\ln a\ne 0$ ，在对应区间 $I_x=(0,+\infty)$ 内有 $(\log_ax)'\xlongequal{反函数导数为直接函数的倒数}\frac{1}{(a^y)'}=\frac{1}{a^y\ln a}\xlongequal[x=a^y]{根据直接函数表达式}\frac{1}{x\ln a}$ 。这和十三讲中用定义求导，结果一致（戳我了解）。

三、复合函数的求导法则

至此，对于像 $\ln \tan x,e^{x^3},\sin \frac{2x}{1+x^2}$ 这样的符合函数，它们的求导法则又是如何呢？如下：

定理3 如果 $u=\varphi (x)$ 在点 x_0 处可导，而 y=f(u) 在点 $u_0=\varphi (x_0)$ 处可导，则复合函数 $y=f[\varphi(x)]$ 在点 x_0 处可导，且导数为 $\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\Big{|}_{x=x_0}=f'(u_0)\varphi'(x_0)$ 。

证明：由于外层函数 y=f(u) 在 u_0 处可导，所以 $f'(u_0)\xlongequal{差商的极限--导数}\lim\limits_{\Delta u\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}$ ，由极限与无穷小的关系（戳我了解）， $\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u_0)+\alpha\quad (\alpha\xrightarrow{\Delta u\to 0}0)$ $\Rightarrow$ $\Delta y=f'(u_0)\cdot\Delta u+\alpha\cdot\Delta u\qquad(6)$

式 (6) 左右两边同时除以 $\Delta x$ ： $\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u_0)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha\frac{\Delta u}{\Delta x}\qquad (7)$

对式 (7) 取极限： $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}f'(u_0)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\lim\limits_{\Delta x\to 0}\alpha\frac{\Delta u}{\Delta x}\qquad (8)$

当 $\Delta x\to 0$ 时， (8) 式等号右边导数 f'(u_0) 为常数，差商 $\frac{\Delta u}{\Delta x}$ 的极限为导数 $\varphi'(x_0)$ ，而 $\Delta x\to 0\Rightarrow \Delta u\to 0$ ， $\alpha \to 0$ ，故 (8) 式又可写作： $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u_0)\varphi'(x_0)+0\cdot \varphi'(x_0)=f'(u_0)\varphi'(x_0)$ 即 $\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\Big{|}_{x=x_0}=f'(u_0)\varphi'(x_0)$ ，证毕。

简言之，如果里层函数在 x_0 点处可导，外层函数在相应的 u_0 处可导，那么复合函数在 x_0 处可导，且导数是外层函数在 u_0 处的导数值乘以里层函数在 x_0 处的导数值。

注：① 如果里层函数 $u=\varphi(x)$ 在开区间 $I_{inner}$ 内可导，外层函数在开区间 $I_{outer}$ 可导，且里层函数的值域包含于外层函数的可导定义域内，即 $U\subset I_{outer}$ ，那么复合函数 $y=f[\varphi(x)]$ 在开区间 $I_{inner}$ 内可导且导数值为外层函数对中间变量的导数与里层函数对自变量的导数的乘积： $\frac{\mathrm d y}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d y}{\mathrm du}\cdot\frac{\mathrm du}{\mathrm d x}$ 。

② 如果 $y=f(u),u=\varphi(v),v=\psi(x)$ ，则复合函数 $y=f\{\varphi[\psi(x)]\}$ 的导数为 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm d x}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm d u}\cdot\frac{\mathrm du}{\mathrm dv}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}$ 。同样四重、五重 $\cdots\cdots$ 复合函数有类似的结论。

例9. $y=e^{x^3}$ ，求 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ 。

解： $y=e^{x^3}$ 可以看作 y=e^u,u=x^3 复合而成，因此 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm du}\cdot\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=e^u\cdot 3x^2\xlongequal{把u=x^3带入}3x^2\mathrm e^{x^3}$ 。

例10. $y=\sin \frac{2x}{1+x^2}$ ，求 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ 。

解： $y=\sin \frac{2x}{1+x^2}$ 可以看作 $y=\sin u,u=\frac{2x}{1+x^2}$ 复合而成，因此 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm du}\cdot\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\cos u\cdot \frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}\xlongequal{把u=\frac{2x}{1+x^2}代入}\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\cos \frac{2x}{1+x^2}$ 。

从上面例子可以看出，求复合函数的导数，首要任务是把复合函数分解成里层函数和外层函数，然后再根据复合函数的求导法则进行求导。不过对于已经熟练的同学可以不用再写出中间变量了，直接在心中知道就行。

例11. $y=\ln \sin x$ ，求 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ 。

解： $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=(\ln\sin x)'=\frac{1}{\sin x}(\sin x)'=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$ 。

例12. $y=\sqrt[3]{1-2x^2}$ ，求 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ 。

解： $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=[\sqrt[3]{1-2x^2}]'=\frac{1}{3}(1-2x^2)^{-\frac{2}{3}}(1-2x^2)'=\frac{1}{3}(1-2x^2)^{-\frac{2}{3}}\cdot(-4x)=\frac{-4x}{3\sqrt[3]{(1-2x^2)^2}}$ 。

例13. $y=\ln\cos (e^x)$ ，求 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ 。

解： $y=\ln\cos (e^x)$ 可以分解为 $y=\ln u,u=\cos v,v=e^x$ ，因此 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm du}\cdot\frac{\mathrm du}{\mathrm dv}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}=\frac{1}{u}\cdot (-\sin v)\cdot e^x=-\frac{1}{\cos (e^x)}\sin (e^x)\cdot e^x=-e^x\tan (e^x)$ 。

例14. $y=e^{\sin \frac{1}{x}}$ ，求。

解： $y'=(e^{\sin \frac{1}{x}})'=e^{\sin \frac{1}{x}}\cdot\cos \frac{1}{x}\cdot(-\frac{1}{x^2})=-\frac{1}{x^2}e^{\sin \frac{1}{x}}\cos \frac{1}{x}$ 。

例15.设，证明幂函数的求导公式为 $(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}$ 。

证明：因为 $x^\mu =(e^{\ln x})^\mu=e^{\mu\ln x}$ ，所以 $(x^\mu)'=(e^{\mu\ln x})'=e^{\mu\ln x}\cdot (\mu \ln x)'=e^{\mu\ln x}\cdot\mu\cdot\frac{1}{x}=x^\mu\cdot\frac{1}{x}\cdot \mu=\mu x^{\mu-1}$ 。

例16. $y=\sin nx\cdot \sin ^nx$ （为常数），求。

解： $y'=(\sin nx\cdot \sin ^n x)'\xlongequal{积的求导法则}(\sin nx)'\cdot \sin ^n x+\sin nx\cdot (\sin ^n x)'\\=\cos nx\cdot n\cdot \sin ^n x+\sin nx\cdot n\sin ^{n-1}x\cdot\cos x\\=n\sin ^{n-1}x(\cos nx\cdot \sin x+\sin nx\cdot \cos x)\\\xlongequal{对括号内的项进行三角函数和差公式}n\sin ^{n-1}x\sin (nx+x)\\=n\sin ^{n-1}x\sin (n+1)x$

四、基本求导法则与导数公式总结

1.常数和基本初等函数的求导公式：

2.函数的和差积商求导法则（见定理1）

3.反函数的求导法则（见定理2）

3.复合函数的求导法则（见定理3）

下面是与本讲内容无关的事情，不感兴趣可以自行忽略

最近有小伙伴催更了，哎~工作比较忙也没办法。所以跟不上大一同学的进度。请见谅，另外谢谢大家的认可。也有很多同学问了我一些题目，我有点应接不暇，毕竟工作第一嘛~先填饱肚子，才配谈理想，对吧。然后我想给爱学习的小伙伴们推荐一套同济第七版高数教辅，是同济大学数学系编的。课后习题答案很全，讲的也很细，希望有帮助。

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第十四讲 函数的求导法则

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