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(2)对于含参函数,奇函数没有偶次方项,偶函数没有奇次方项 (3)奇偶性作用不大,一般用于选择填空 5 . 数列爆强定律 (1)等差数列中:S奇=na中,例如S13=13a7(13和7为下角标); (2)等差数列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差 (3)等比数列中,上述2中各项在公比不为负一时成等比,在q=-1时,未必成立 (4)等比数列爆强公式:S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q 6 . 数列的终极利器,特征根方程 首先介绍公式:对于an+1=pan+q(n+1为下角标,n为下角标), a1已知,那么特征根x=q/(1-p),则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x,这是一阶特征根方程的运用。 二阶有点麻烦,且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7 . 函数详解补充 1、复合函数奇偶性:内偶则偶,内奇同外 2、复合函数单调性:同增异减 3、重点知识关于三次函数:恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。 它有一个对称中心,求法为二阶导后导数为0,根x即为中心横坐标,纵坐标可以用x带入原函数界定。另外,必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8 . 常用数列bn=n×(2²n)求和Sn=(n-1)×(2²(n+1))+2记忆方法 前面减去一个1,后面加一个,再整体加一个2 9 . 适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式 k椭=-{(b²)xo}/{(a²)yo}k双={(b²)xo}/{(a²)yo}k抛=p/yo 注:(xo,yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技 已知直线L1:a1x+b1y+c1=0直线L2:a2x+b2y+c2=0 若它们垂直:(充要条件)a1a2+b1b2=0; 若它们平行:(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[ 这个条件为了防止两直线重合) 注:以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦,直接必杀! 11 . 经典中的经典 相信邻项相消大家都知道。 下面看隔项相消: 对于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)] 注:隔项相加保留四项,即首两项,尾两项。自己把式子写在草稿纸上,那样看起来会很清爽以及整洁! 12 . 爆强△面积公式 S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q) 注:这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题 13 . 你知道吗?空间立体几何中:以下命题均错 (1)空间中不同三点确定一个平面 (2)垂直同一直线的两直线平行 (3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (4)如果一条直线与平面内无数条直线垂直,则直线垂直平面 (5)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 (6)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体都是棱锥 注:对初中生不适用。 14 . 一个小知识点 所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。 15 . 求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小值 答案为:当n为奇数,最小值为(n²-1)/4,在x=(n+1)/2时取到; 当n为偶数时,最小值为n²/4,在x=n/2或n/2+1时取到。 16 . √〔(a²+b²)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b为正数,是统一定义域) 17 . 椭圆中焦点三角形面积公式 S=b²tan(A/2)在双曲线中:S=b²/tan(A/2) 说明:适用于焦点在x轴,且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。 18 . 爆强定理 空间向量三公式解决所有题目:cosA=|{向量a.向量b}/[向量a的模×向量b的模] (1)A为线线夹角 (2)A为线面夹角(但是公式中cos换成sin) (3)A为面面夹角注:以上角范围均为[0,派/2]。 19 . 爆强公式 1²+2²+3²+…+n²=1/6(n)(n+1)(2n+1);1²3+2²3+3²3+…+n²3=1/4(n²)(n+1)² 20 . 爆强切线方程记忆方法 写成对称形式,换一个x,换一个y 举例说明:对于y²=2px可以写成y×y=px+px 再把(xo,yo)带入其中一个得:y×yo=pxo+px 21 . 爆强定理 (a+b+c)²n的展开式[合并之后]的项数为:Cn+22,n+2在下,2在上 22 . 转化思想 切线长l=√(d²-r²)d表示圆外一点到圆心得距离,r为圆半径,而d最小为圆心到直线的距离。 23 . 对于y²=2px 过焦点的互相垂直的两弦AB、CD,它们的和最小为8p。 爆强定理的证明:对于y²=2px,设过焦点的弦倾斜角为A 那么弦长可表示为2p/〔(sinA)²〕,所以与之垂直的弦长为2p/[(cosA)²] 所以求和再据三角知识可知。 (题目的意思就是弦AB过焦点,CD过焦点,且AB垂直于CD) 24 . 关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强 ∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣ 25 . 关于解决证明含ln的不等式的一种思路 举例说明:证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1) 把左边看成是1/n求和,右边看成是Sn。 解:令an=1/n,令Sn=ln(n+1),则bn=ln(n+1)-lnn, 那么只需证an>bn即可,根据定积分知识画出y=1/x的图。 an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明1>ln2。 注:仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广,就是把左边、右边看成是数列求和,证面积大小即可。说明:前提是含ln。 26 . 爆强简洁公式 向量a在向量b上的射影是:〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。 记忆方法:在哪投影除以哪个的模 27 . 说明一个易错点 若f(x+a)[a任意]为奇函数,那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕 同理如果f(x+a)为偶函数,可得f(x+a)=f(-x+a) 牢记 28 . 离心率爆强公式 e=sinA/(sinM+sinN) 注:P为椭圆上一点,其中A为角F1PF2,两腰角为M,N 29 . 椭圆的参数方程也是一个很好的东西,它可以解决一些最值问题。 比如x²/4+y²=1求z=x+y的最值。 解:令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍! 30 . 仅供有能力的童鞋参考的爆强公式 和差化积 sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 积化和差 sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 31 . 爆强定理 直观图的面积是原图的√2/4倍。 32 . 三角形垂心爆强定理 (1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O为三角形外心,H为垂心) (2)若三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图象上,则它的垂心也在这个函数图象上。 33 . 维维安尼定理(不是很重要(仅供娱乐)) 正三角形内(或边界上)任一点到三边的距离之和为定值,这定值等于该三角形的高。 34 . 爆强思路 如果出现两根之积x1x2=m,两根之和x1+x2=n 我们应当形成一种思路,那就是返回去构造一个二次函数 再利用△大于等于0,可以得到m、n范围。 35 . 常用结论 过(2p,0)的直线交抛物线y²=2px于A、B两点。 O为原点,连接AO.BO。必有角AOB=90度 36 . 爆强公式 ln(x+1)≤x(x>-1)该式能有效解决不等式的证明问题。 举例说明:ln(1/(2²)+1)+ln(1/(3²)+1)+…+ln(1/(n²)+1) |
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