常见导数公式

设曲线 $y=x^{n+1}\ (n\in N^+)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_n$, 令 $a_n= \lg x_n$, 求 $a_1+ a_2+ \cdots+ a_{99}$ 的值.

因为 $y=x^{n+1}$ 的导数为 $y'=(n+1)x^n$, 所以在点 $(1,1)$ 处的切线斜率为 \[ k= (n+1)\cdot 1^n= n+1,\] 切线方程为 \[ y-1= (n+1)(x-1).\] 再求切线与 $x$ 轴的交点的横坐标, 在上式中令 $y=0$, 得 \[ -1= (n+1)(x_n-1),\quad x_n= 1-\frac1{n+1}.\] 因此 \[ a_n= \lg x_n= \lg \biggl(1-\frac1{n+1}\biggr) = \lg\frac{n}{n+1},\] 继而 \[\begin{aligned} &a_1+ a_2+ \cdots+ a_{99}\\ ={}& \lg\frac12+ \lg\frac23+\cdots+ \lg\frac{99}{100}\\ ={}& \lg\biggl(\frac12\cdot \frac23\cdot\,\cdots\,\cdot \frac{99}{100}\biggr)\\ ={}& \lg\frac1{100}= -2. \end{aligned}\]

已知二次函数 $f(x)=ax^2 +bx+c$ 的导函数 $f'(x)$ 满足 $f'(0)>0$. 若对任意实数 $x$, 有 $f(x)\geqslant 0$, 求 $\dfrac{f(1)}{f'(0)}$ 的最小值.

$f'(x)= 2ax+b$. 由 $f'(0)>0$ 知 $b>0$. 由 $f(x)\geqslant 0$ 恒成立知, \[\Delta= b^2-4ac= 0,\quad b^2= 4ac,\] 所以 \[\begin{aligned} \frac{f(1)}{f'(0)} &= \frac{a+b+c}{b}= \frac{a+c}{b}+ 1\\ &\geqslant \frac{2\sqrt{ac}}{\sqrt{4ac}}+ 1= 2, \end{aligned}\] 等号成立当且仅当 $a=c$, $b=2c$.