二三元求高阶导全微分

二三元求高阶导全微分

公式描述：公式中

f'(x)

为

f(x)

的导数。微分公式的定义设

函数

y = f(x)

在

x

的邻域内有定义，

x

及

x + Δx

在此区间内。

如果函数的增量

Δy = f(x + Δx) 

- f(x)

可表示为

Δy = AΔx + o(Δx)

（其中

A

是不随

Δx

改变的常量，但

A

可以随

x

改变），而

o(Δx)

是比

Δx

高阶的无穷小（注：

o

读作奥密克戎，希腊字母）

那么称函数

f(x)

在点

x

是可微的，且

AΔx

称作函数在点

x

相应

于因变量增量

Δy

的微分，记作

dy

，即

dy = AΔx

。

函数的微分是函数增量的主要部分，且是

Δx

的线性函数，

故说函数的微分是函数增量的线性主部（

△

x→0

）。

微分公式的推导设函数

y = f(x)

在某区间内有定义，

x0

及

x0+

△

x

在这区间内，若函数的增量

Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)

可表

示为

Δy = AΔx + o(Δx)

，其中

A

是不依赖于

△

x

的常数，

o(Δx)

是

△

x

的高阶无穷小，则称函数

y = f(x)

在点

x0

是可微的。

AΔx

叫做函数在点

x0

相应于自变量增量

△

x

的微分，记作

dy

，

即：

dy=AΔx

。

微分

dy

是自变量改变量

△

x

的线性函数，

dy

与

△

y

的差

是关于

△

x

的高阶无穷小量，我们把

dy

称作

△

y

的线性主部。

得出：

当

△

x→0

时，

△

y≈dy

。

导数的记号为：

(dy)/(dx)=f′(X)

，

我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个

微分的比值（把

△

x

看成

dx

，即：定义自变量的增量等于自变

量的微分），还可表示为

dy=f′(X)dX

。