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对角优势矩阵
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对角占优矩阵是指一矩阵的每一横列，对角线上元素的大小大于或等于同一横列其他元素大小的和，一矩阵A为对角占优矩阵若 | a i i | ≥ ∑ j ≠ i | a i j | for all i , {\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\quad {\text{for all }}i,\,}其中aij为第i列第j行的元素。 上述的定义中用到大于等于，其条件较松，因此有时会称为弱对角占优矩阵，若上述的定义用大于代替大于等于，则称为强对角占优矩阵。对角优势矩阵可以指弱对角占优矩阵，也可以指强对角占优矩阵，视上下文而定[1]。 目次 1 变体 2 例子 3 应用及性质 4 参考资料 5 外部连结 变体第一段的定义是考虑同一横列其他元素大小的和，有时也称为列对角优势矩阵，若是考虑同一直行其他元素大小的和，则称为行对角优势矩阵。 若一不可约矩阵是弱对角优势矩阵，但至少一横列（或一直行）符合强对角优势的条件，则此矩阵称为不可约对角优势矩阵。 例子矩阵 A = [ 3 − 2 1 1 − 3 2 − 1 2 4 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}}可得 | a 11 | ≥ | a 12 | + | a 13 | {\displaystyle |a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|} 因为 | 3 | ≥ | − 2 | + | 1 | {\displaystyle |3|\geq |-2|+|1|} | a 22 | ≥ | a 21 | + | a 23 | {\displaystyle |a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|} 因为 | − 3 | ≥ | 1 | + | 2 | {\displaystyle |-3|\geq |1|+|2|} | a 33 | ≥ | a 31 | + | a 32 | {\displaystyle |a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|} 因为 | 4 | ≥ | − 1 | + | 2 | {\displaystyle |4|\geq |-1|+|2|} .因为任一对角线元素大小都大于等于同一列其他元素的和，因此A为对角优势矩阵。 矩阵 B = [ − 2 2 1 1 3 2 1 − 2 0 ] {\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}}但是 | b 11 | | c 33 | ≥ | c 31 | + | c 32 | {\displaystyle |c_{33}|\geq |c_{31}|+|c_{32}|} 因为 | 5 | > | 1 | + | − 2 | {\displaystyle |5|>|1|+|-2|} .因为任一对角线元素大小都大于同一列其他元素的和，因此C为强对角优势矩阵。 应用及性质强对角优势矩阵（或不可约对角优势矩阵[2]）是非奇异方阵，此结果即为Levy–Desplanques定理[3]，针对强对角优势矩阵的结果，可以用Gershgorin圆定理证明。 若埃尔米特对角优势矩阵 A {\displaystyle A} ，其对角线为非负值，即为正定矩阵。 若不考虑对称性的条件，上述的矩阵不一定会是半正定矩阵。（例如， [ − 5 2 1 ] [ 1 1 0 1 1 0 1 0 1 ] [ − 5 2 1 ] = 10 − 5 5 |
因为
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3
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≥
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−
2
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+
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1
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{\displaystyle |3|\geq |-2|+|1|}
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a
22
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≥
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a
21
|
+
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a
23
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{\displaystyle |a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|}
因为
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−
3
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≥
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1
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+
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2
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{\displaystyle |-3|\geq |1|+|2|}
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a
33
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≥
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a
31
|
+
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a
32
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{\displaystyle |a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|}
因为
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4
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≥
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−
1
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+
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2
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{\displaystyle |4|\geq |-1|+|2|}
.
因为
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5
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>
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1
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+
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−
2
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{\displaystyle |5|>|1|+|-2|}
.
，其对角线为非负值，即为正定矩阵。
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