矩阵求逆引理(matrix inversion lemma)

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      若矩阵A∈CN×N，C∈CN×N，均为非奇异矩阵，矩阵B∈CN×M，D∈CM×N，则矩阵A+BCD具有逆矩阵：

(A+BCD)-1=A-1-A-1B(DA-1B+C-1)-1DA-1

      我试图推导，花了好多时间，却没有什么收获。这个式子仿佛四年前见过，有点印象。推导这个不是为了别的，只是想到今后可能要用，如果手头没有相关的书籍，又不记得这个公式，就只能靠自己来算了。

      后来找到了一个比较简单的方法，虽然可能不很严密，但是如果需要使用这个引理而又不记得具体表达时，就可以用手推出来。

      首先必须记住的是可逆矩阵A+BCD的逆可以表示成A-1+X，其中X为未知矩阵，这样一来，确定A+BCD阵的逆的问题就转化为解一个关于X的方程的问题。

∵A-1+X=(A+BCD)-1;

∴(A+BCD)(A-1+X)=E(E为单位阵，eye阵);

E+AX+BCDA-1+BCDX=E;

AX+BCDA-1+BCDX=0(0为0矩阵);

(A+BCD)X+BCDA-1=0;

X=-(A+BCD)-1BCDA-1;

X=-[B(B-1A+CD)]-1BCDA-1;

X=-(B-1A+CD)-1CDA-1;

X=-[C(C-1B-1A+D)]-1CDA-1;

X=-(C-1B-1A+D)-1DA-1;

X=-[(C-1B-1+DA-1)A]-1DA-1;

X=-A-1(C-1B-1+DA-1)-1DA-1;

X=-A-1[(C-1+DA-1B)B-1]-1DA-1;

X=-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1;

      将其带入A-1+X，就得到了引理的结果：

(A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1;

      总之只要记住A+BCD的逆可以表示成A-1+X的形式，那么这个矩阵求逆引理是无论如何能够推出来的。