两边同时取对数求复合函数

已经消失一段时间了~

最近开始学习导数，接触到了一些比较神奇的结论和方法。

如果有时间的话，会慢慢归类整理上来。

复合函数求导是高考中必须掌握的东西，内容如下：设

，对

求导得：

而用复合函数求导法可以推导出隐函数求导的方法。

隐函数求导是高等数学里面的东西，是一个挺有意思的概念，做一下了解也会有点帮助~

一、隐函数求导

先来看看什么是隐函数：如果方程

能确定

是

的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量

、

，对于某一范围内的

的每一个值，

都有确定的值和它对应，

就是

的函数。这种关系一般用

即显函数来表示。

即隐函数是相对于显函数来说的。

“隐函数”的“隐”就说明函数的对应关系是隐藏的，而不是像“显函数”一样“显然”，但是可以通过一些代数处理，将方程改写为

的形式。

举个例子，单位圆可由以下方程确定：

当

时，可以得到

，令

这时候得到了一个对应关系

，即

是

的函数。

像显函数一般，隐函数也可以进行求导，不过需要借助到复合函数的求导法则。

如对方程

，两边对

求导：

左边的

很容易求导，结果为

；

右边为常函数，结果为

；

对于

稍微有点麻烦，可以把

看作

的函数，将

视为一个复合函数：

设

满足对应关系

，令

则

，由复合函数求导法则可得

即

所以两边对

求导后：

，移项后得到

即单位圆上一点

处的切线的斜率

二、椭圆(双曲线、抛物线)情形

常见的椭圆(焦点在

轴)的方程为：

，也是一个关于

和

的方程，所以也可以使用隐函数求导来求切线的方程，由此可以推导出椭圆的切线方程。

例1 已知椭圆

上一点

，求椭圆在该点的切线方程。

解 对椭圆方程

，两边对

求导：

，移项后得到

则过点

的切线的斜率

切线为

，化简得

双曲线和抛物线也可以用类似的方法，在这里再举一下抛物线的例子：

例2 已知抛物线

上一点

，求抛物线在该点的切线方程。

解 对抛物线方程

，两边对

求导：

，移项后得到

则过点

的切线

化简得

三、简化求导过程：取对数求导法

在一些参考书，如王后雄里面，都有见到一个小技巧：取对数求导法。

对数有个很奇妙的运算法则：

因此，形如

，或是形如

的较难化简的函数，都可以尝试两边取对数，再通过上面提到的求导法则来处理。

例3 求函数

的导数。

解1 直接化简可得：

则

解2 两边取对数：

令

，

，则

可以写作

则

两边对

求导可得

又因为

所以

即

上面的例子只是对该方法提供一个说明。

在函数比较复杂的时候，取对数常常可以简化过程，也可以用来验算求导的结果。