高考考纲与考向分析

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.

（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.

（4）了解指数函数 y=a^{x} 与对数函数 y=log_{a}x(a>0, 且a\neq 1 ) 互为反函数 .

一、对数与对数运算

1．对数的概念

（1）对数：一般地，如果 a^{x}=N(a>0,且a\neq 1) ，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作 x=log_{a}N ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

（3）对数式与指数式的互化 a^{x}=N\Leftrightarrow x=log_{a}N .

2．对数的性质

根据对数的概念，知对数 log_{a}N(a>0,且a\neq 1) 具有以下性质：

（1）负数和零没有对数，即N>0 ；

（2）1的对数等于0，即 log_{a}1=0 ；

（3）底数的对数等于1，即 log_{a}a=1 ；

（4）对数恒等式 a^{log_{a}N}=N(N>0) .

3．对数的运算性质

如果a>0且a≠1，M>0,N>0那么：

（1） log_{a}MN=log_{a}M+log_{a}N ;

（2） log_{a}\frac{M}{N}=log_{a}M-log_{a}N ；

（3） log_{a}M^{n}=nlog_{a}M(n\in R) .

4．对数的换底公式

对数的换底公式： log_{b}N=\frac{log_{c}N}{log_{c}b}(b>0,且b\neq 1;c>0且c\neq 1;N>0) .

换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

换底公式的变形及推广：

（1） log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}log_{a}b(a>0且a\neq 1;b>0) ；

（2） log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}(a>0且a\neq 1;b>0且b\neq 1) ；

（3） log_{a}b·log_{b}c·log_{c}d=log_{a}d (其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).

二、对数函数及其性质

1．对数函数的概念

一般地，我们把函数 y=log_{a}x (a>0,且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞） .

2．对数函数的图象和性质

一般地，对数函数 的图象与性质如下表所示：

在直线x=1 的右侧，当a>1 时，底数越大，图象越靠近x轴；当0y=log_{a}x(a>0, 且a\neq 1 )互为反函数，其图象关于直线y=x对称.

对数运算的一般思路：

（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；

（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

注意：

（1）在利用对数的运算性质log_{a}MN=log_{a}M+log_{a}N与log_{a}M^{n}=nlog_{a}M(n\in R)进行化简与求值时，要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性．

（2）注意利用等式lg2+lg5=1 .

1．对数函数y=log_{a}x(a>0, 且a\neq 1 )的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的 x,y ，即可得到定点的坐标.

2．当底数a>1 时，对数函数 y=log_{a}x 是(0,+∞) 上的增函数，当x>1时，底数a的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数0