每周一招[8]对勾函数与分式函数（新高三）

一次分式函数

对一次分式函数

可以用分离常数法将分子变成不含的常数

记

，则的图象为反比例函数

经过平移得到的，从而知的定义域为

，值域为

．

函数在区间

与

上的单调性与的正负相关：当时，在这两个区间上分别单调递减；当时，在这两个区间上分别单调递增，如图．

例题一 (1)已知

，则的定义域为______，值域为_______，单调性是_______________；

(2)已知

在上单调递增，则的取值范围是___________．

分析与解(1)分离常数得

所以的定义域为

，值域为

，在区间

与

上单调递减；

(2)分离常数得

由在上单调递增知，解得或，此时我们知道在与上单调递增，所以只需要或即可，从而有或，解得或．

综上知，或．

注事实上只需要即可．

在介绍二次分式函数前，先来看看对勾函数：

形如

的函数称为对勾函数．因为函数

与函数

的单调区间相同()或相反()，为了方便，我们直接看函数

的图象，通过求导或者由单调性的定义可得到的单调区间，如图：

当时，在与上单调递增；当时，在与上单调递增，在与上单调递减．

注也有些地方只称后一种图象对应的函数为对勾函数，因为此函数的图象形似“对勾”，正是对勾函数名称的由来．

二次分式函数

对于二次分式函数

不同时为零，我们先就最一般的情况讨论，即各参数均不为零的情况：

①先通过分离常数法将分子化为一次式，得到形如

的函数；

②令

，当时有

于是我们知道，二次分式函数的图象可以由一个对勾函数的图象平移后“取倒数”再平移得到．

特别地，当时，二次分式函数是一个二次函数的倒数；

当时，直接对分母换元，对应的二次分式函数直接由一个对勾函数平移得到．

于是，我们知道所有二次分式函数都可以由对勾函数或二次函数的图象得到．下面以具体二次分式函数为例看看取倒数后图象的变化情况．

例题二 请画出下列函数的草图，并写出单调区间．

(1)

，

；

(2)

，

；

(3)

，

．

分析与解(1)分别是对勾函数

与

的倒数，所以它们的图象如下：

取倒数需要注意的是零点、不在定义域内的点（函数值趋于无穷）以及单调性变化的点．在每一个单调区间上，取倒数后的函数的单调性都正好发生变化，原来是增的（减的），取倒数后变成减的（增的）；原来函数值是无穷大的，取倒数后变成零；原来函数值为零的，取倒数后变成无穷大．

由复合函数的单调性或求导得到在与上单调递减，在上单调递增；在，，上都单调递减．

(2)先画出二次函数的图象，再根据上面的分析类似得到它的倒数的图象：

在上单调递增，在上单调递减；在与上单调递增，在与上单调递减．

(3)因为

我们可以由

的图象向上平移一个单位，取倒数，再关于轴对称，最后向上平移一个单位得到的图象，如图：

所以在，上单调递增；在上单调递减．

下面看：令，则

，先研究函数

的图象，再向右平移一个单位即可得的图象．

因为

，先画函数

的图象，注意它的单调性变化的点与零点，再根据取倒数后每个单调区间单调性相反可得：

最后将此函数的图象向右平移一个单位即可，图略．最后得到在，上单调递减，在，上单调递增；在上单调递减．

最后给出两道练习：

练习一(1)已知

，则的定义域为______，值域为_______，单调性是_______________；

(2)已知

在上单调递增，则的取值范围是___________．

答案(1)

，

，在

与

上单调递增．

(2)．

练习二画出函数

与

的草图．

提示 注意单调性变化的点，定义域中的间断点以及无穷远点．

关于数海拾贝

“数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》，每天精选一道高中数学好题，从破题的思路，图文并茂的讲解到精辟到位的总结，同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考，一定能在两三个月获得明显的进步，在高考中取得好成绩。如果您想表达自己独到的见解（或有意见及建议），请发送至[email protected]。

觉得有意思？长按指纹，关注我们吧！

未经许可禁止转载，转载请联系公众号数海拾贝。

点击阅读原文可查看相关文章。返回搜狐，查看更多