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格
一、定义
1、偏序集定义的格
(1) 任何两个元素都有最小上界和最大下届的偏序集称为格,也称为偏序格。 (2) 最小上界:∨(保联运算),LUB,sup 最大下界:∧(保交运算),GLB,inf (3) 设〈𝐿, ≤〉是格,≥是≤的逆关系,则格〈𝐿, ≥〉称 为格〈𝐿, ≤〉的对偶格(互为对偶格)。 关系≤ 和关系≥称为互为对偶的关系. 定理: 若〈𝐿, ≤〉是一个格,则〈𝐿, ≥〉也是一个 格, 且格〈𝐿, ≥〉中的保联运算和保交运算( 用⨁和⨂表示) 与格〈𝐿, ≤〉中的保联运算和保交运算(用∨和∧表示) 满足a∨b=a⨂b,a∧b=a⨁b 注释:就是运算意义交叉等价 (4) 定义: 一个由格〈𝐿, ≤〉中的元素以及符号∨ ,∧, =和≤所组成的命题𝑃的对偶命题是指 命题𝑃 ∗ ,它是将𝑃中的≤换为≥,∨换为∧,∧换 为∨所得到的命题. 对偶原理: 对于格〈𝐿, ≤〉中的任一真 命题𝑃,其对偶命题𝑃 ∗ 也是真命题. (5) 定理: 设〈𝐿, ≤〉为格,则对L中任何元素𝑎,𝑏和 𝑐有: (1)𝑎 ≤ 𝑎 ∨ 𝑏, 𝑏 ≤ 𝑎 ∨ 𝑏, 𝑎 ∧ 𝑏 ≤ 𝑎, 𝑎 ∧ 𝑏 ≤ 𝑏 (2)若𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎 ≤ 𝑐,则:𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑐. 若𝑎 ≤ 𝑐, 𝑏 ≤ 𝑐,则:𝑎 ∨ 𝑏 ≤ 𝑐. (3)若𝑎 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑑,则:𝑎 ∨ 𝑐 ≤ 𝑏 ∨ 𝑑, 𝑎 ∧ 𝑐 ≤ 𝑏 ∧ 𝑑. (4)若𝑏 ≤ 𝑐,则:𝑎 ∨ 𝑏 ≤ 𝑎 ∨ 𝑐, 𝑎 ∧ 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ 𝑐. (6) 定理: 设〈𝐿, ≤〉为格,那么对𝐿中任何元素𝑎,𝑏 和𝑐,以下定律成立. (1)幂等律 𝑎 ∨ 𝑎 = 𝑎, 𝑎 ∧ 𝑎 = 𝑎 (2)交换律 𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑏 ∨ 𝑎, 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑏 ∧ 𝑎 (3)结合律 (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐 = 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐), (𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 = 𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐) (4)吸收律 𝑎 ∨ (𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑎,𝑎 ∧ (𝑎 ∨ 𝑏) = 𝑎 (7) 定理: 设〈𝐿, ≤〉为格,则对L中任何元素𝑎和𝑏, 有 𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎 ⇔ 𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑏. (8) 定理: 设〈𝐿, ≤〉为格,则对𝐿中任何元素𝑎,𝑏和 𝑐,有: (1)𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐) ≤ (𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎 ∨ 𝑐). (2)𝑎 ∧ (𝑏 ∨ 𝑐) ≥ (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ (𝑎 ∧ 𝑐). 其中关系≥是关系≤的对偶关系. (9) 定理: 设〈𝐿, ≤〉为格,那么对𝐿中任何元素 𝑎,𝑏和𝑐, 有:𝑎 ≤ 𝑐 ⇔ 𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐) ≤ (𝑎 ∨ 𝑏) ∧ 𝑐. 2、代数系统定义的格(1) 定义:设〈𝐿,∨,∧〉(或〈𝐿,∧,∨〉)是代数系统, ∨和 ∧是𝐿上的两个二元运算,如果这两个运算 对𝐿中的元素满足: (1)交换律 𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑏 ∨ 𝑎, 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑏 ∧ 𝑎 (2)结合律 (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐 = 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐), (𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 = 𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐) (3)吸收律 𝑎 ∨ (𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑎, 𝑎 ∧ (𝑎 ∨ 𝑏) = 𝑎 则称代数系统〈𝐿,∨,∧〉是格.也称这样定义的格为代数格. (2) 定理: 由代数系统定义的格和由偏序集定义的格是等价的. 亦即,一个代数格必是一个偏序格;一个偏序格必是一个代数格. 3、子格(1) 定义1: 设〈𝐿,∨,∧〉是格,𝑆是𝐿的非空子集, 如果 〈𝑆,∨,∧〉仍构成一个格,则称〈𝑆,∨,∧〉是〈𝐿,∨,∧〉 的子格. 定义2: 设〈𝐿,∨,∧〉是格,𝑆是𝐿的非空子集, 若对 𝑆中的任意元素𝑎和𝑏,有: (1)𝑎 ∨ 𝑏 ∈ 𝑆 (2)𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆 则称〈𝑆,∨,∧〉是〈𝐿,∨,∧〉的子格. 定义3: 设〈𝐿, ≤〉是格,𝑆是𝐿的非空子集, 若对于任意𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆,{𝑎, 𝑏}在𝐿中求得的最小上界𝑎 ∨ 𝑏和最大下界𝑎 ∧ 𝑏仍在𝑆中, 则称〈𝑆,≤〉是〈𝐿,≤〉 的子格. 注意: 子格必是格. 因为当运算限制在S上时,交换律,结合律和吸收律也是成立的。 4、格的同态(1) 定义: 设〈𝐿,∨,∧〉和〈𝑆, ⨁, ⨂〉是两个格, 若存在映射f:𝐿 → 𝑆,使对∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿,有: 𝑓(𝑎 ∨ 𝑏) = 𝑓(𝑎)⨁𝑓(𝑏) 𝑓(𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑓(𝑎)⨂𝑓(𝑏) 则称𝑓是〈𝐿,∨,∧〉到〈𝑆, ⨁, ⨂〉的格同态映射, 简称同态映射。 注意: 若𝑓是单射,满射或双射时,则称𝑓分别是单同态映射,满同态映射和同构映射。 特别地,〈𝐿,∨,∧〉到〈𝐿,∨,∧〉的格同态映射称为自同态映射; 〈𝐿,∨,∧〉到〈𝐿,∨,∧〉的格同构映射称为自同构映射. 若〈𝐿,∨,∧〉到〈𝑆, ⨁, ⨂〉存在同构映射,则称 〈𝐿,∨,∧〉和〈𝑆, ⨁, ⨂〉是同构的. 同构的两个格其哈斯图是相同的. (2) 定义: 设〈𝐿, ≤l 〉和〈𝑆, ≤s 〉是两个格, 若存在映射𝑓: 𝐿 → 𝑆,使对𝐿中任意元素𝑎,𝑏, 当 𝑎 ≤l 𝑏时,有 𝑓(𝑎) ≤s 𝑓(𝑏), 则称𝑓是〈𝐿, ≤l 〉 到〈𝑆, ≤s 〉的格保序映射(序同态映射),简称保序映射. 定理: 设〈𝐿, ≤l 〉和〈𝑆, ≤s 〉是两个格 映射𝑓: 𝐿 → 𝑆, 如果𝑓是〈𝐿,∨,∧〉到〈𝑆, ⨁, ⨂〉 同态映射,则𝑓是保序映射. 即对任意𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿, 若𝑎 ≤l 𝑏,有: 𝑓(𝑎) ≤s 𝑓(𝑏). 其中:≤l 是集合𝐿上对应于运算∨和∧的偏序关系, ≤s 为集合𝑆上对应于运算⨁和⨂的偏序关系. 5、分配格(1) 定义: 设〈𝐿,∨,∧〉是一个格,若∨对∧, ∧对∨均 满足分配律, 即对任意𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐿,有: 𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐) = (𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎 ∨ 𝑐) 𝑎 ∧ (𝑏 ∨ 𝑐) = (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ (𝑎 ∧ 𝑐) 则称〈𝐿,∨,∧〉是分配格. (2) 定理: 在格〈𝐿,∨,∧〉中, 如果保交运算∧运算对保联运算∨是可分配的, 那么保联运算∨ 对保交运算∧也一定是可分配的. 反之亦然。 (3) 定理: 设〈𝐿,∨,∧〉是分配格, 对于任意的 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐿,若: 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎 ∧ 𝑐, 𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑎 ∨ 𝑐 成立, 则𝑏 = 𝑐. 证明: 因为(𝑎 ∧ 𝑏) ∨ 𝑐 = (𝑎 ∧ 𝑐) ∨ 𝑐 = 𝑐 而: (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ 𝑐 = (𝑎 ∨ 𝑐) ∧ (𝑏 ∨ 𝑐) = (𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑏 ∨ 𝑐) = 𝑏 ∨ (𝑎 ∧ 𝑐) = 𝑏 ∨ (𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑏 因此有𝑏 = 𝑐. (4) 定理: 格〈𝐿,∨,∧〉是分配格的充分必要条件是: 〈𝐿,∨,∧〉中不含有与钻石格和五角格同构的子格. 6、有补格(1) 定义: 对于格〈𝐿,∨,∧〉,若𝐿中的元素个数有限,则称〈𝐿,∨,∧〉为有限格. (2) 定义: 对于格〈𝐿,∨,∧〉, 若存在一个元素𝑎 ∈ 𝐿,对于∀𝑥 ∈ 𝐿,都有𝑥 ≤ 𝑎(𝑎 ≤ 𝑥), 则称𝑎是 格𝐿的一个最大(最小)元. 如果一个格存在最小元和最大元,则称它们是格的界, 分别用𝟎和𝟏来表示最小元和最大元. (3) 定义: 如果一个格同时存在最小元和最大元,则称该格为有界格. 注意: 有限格都是有界格。 (4) 定理:设〈𝐿,∨,∧〉是有界格, 则对任意的𝑎 ∈ 𝐿, 必有: (1)𝑎 ∨ = 𝟏,𝑎 ∧ 𝟏 = 𝑎 (2)𝑎 ∨ 𝟎 = 𝑎,𝑎 ∧ 𝟎 = 𝟎 (5) 定义: 设〈𝐿,∨,∧〉是有界格, 对于𝐿中的一元 素𝑎, 若存在𝑏 ∈ 𝐿,使得𝑎 ∨ 𝑏 = 𝟏,𝑎 ∧ 𝑏 = 𝟎, 则称𝑏为𝑎的补元. (6) 补元有下列特点: (1)补元是相互的,即𝑏是𝑎的补元,那么𝑎也是𝑏 的补元; (2)𝟎和𝟏互为补元; (3)并非有界格中每个元素都有补元,即使存在也未必是唯一的. (7) 定义: 在一个有界格〈𝐿,∨,∧〉中,如果𝐿中每个元素都有补元,则称此格为有补格. (8) 定理: 有补格〈𝐿,∨,∧〉中元素𝟎和𝟏的补元是唯一的. (9) 定义: 如果一个格既是有补格又是分配格, 则称它为有补分配格. (10) 定理: 有补分配格中每一元素的补元都是唯一的 证明: 反证法: 设〈𝐿,∨,∧〉是有补分配格,𝑎是𝐿中 的一元素, 假设它有两个补元𝑏和𝑐,那么有: 𝑎 ∨ 𝑏 = 𝟏, 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝟎 𝑎 ∨ 𝑐 = 𝟏, 𝑎 ∧ 𝑐 = 𝟎 即:𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑎 ∨ 𝑐,𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎 ∧ 𝑐. 根据分配格的性质,有𝑏 = 𝑐. 所以𝑎的补元 是唯一的. 有补分配格中任一元素𝑎的唯一补元可用 ∼ 𝑎(或𝑎' )来表示. (11) 定理: 对有补分配格中每一元素𝑎,有 (𝑎')'= 𝑎.(对合律) (12) 定理: 设〈𝐿,∨,∧〉是有补分配格, 则对𝐿中任 意元素𝑎和𝑏,有 (1)(𝑎 ∨ 𝑏)'= 𝑎'∧ 𝑏' (2)(𝑎 ∧ 𝑏)' = 𝑎' ∨ 𝑏' (德·摩根律) (13) 定理: 对有补分配格的任何元素𝑎和𝑏,有: 𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑎 ∧ 𝑏' = 𝟎 𝑎 ∧ 𝑏' = 0 ⇔ 𝑎' ∨ 𝑏 = 1 7、布尔代数(1) 定义: 一个有补分配格称为布尔代数 (2) 在有补分配格中,因为每一个元素𝑎都有唯一的补元𝑎 ' , 所以可定 义一个一元运算' , 使得𝑎 ' 为𝑎的补元, 这个一元运算称为补运算 (3) 布尔代数一般用〈𝐵,∨,∧,' 〉或〈𝐵,∨ ,∧,' , 𝟎, 𝟏〉来表示. (4) 定义: 具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数. (5) 定义: 设〈𝐵,∨,∧,' , 𝟎, 𝟏〉是布尔代数,𝐴 ⊆ 𝐵且非空, 若〈𝐴,∨,∧,' , 𝟎, 𝟏〉也是布尔代数, 则称 〈𝐴,∨,∧,' , 𝟎, 𝟏〉是〈𝐵,∨,∧,' , 0,1〉的子(布尔)代数. (6) 定理: 设〈𝐵,∨,∧,' , 𝟎, 𝟏〉为布尔代数,𝐴 ⊆ 𝐵且 𝐴含有元素𝟎和𝟏, 若𝐴对运算∨,∧和' 封闭, 那 么〈𝐴,∨,∧,' , 𝟎, 𝟏〉为〈𝐵,∨,∧,' , 𝟎, 𝟏〉的子代数. (7) 定义:设〈𝐴,∨,∧,' , 𝟎, 𝟏〉和〈𝐵,∨,∧,' , 𝟎, 𝟏〉是两 个布尔代数, 如果存在𝐴到𝐵的函数𝑓,使得对于任意的𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴,都有: 𝑓(𝑎 ∨ 𝑏) = 𝑓(𝑎) ∨ 𝑓(𝑏) 𝑓(𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑓(𝑎) ∧ 𝑓(𝑏) 𝑓(𝑎') = (𝑓(𝑎))' 则称𝑓是布尔代数〈𝐴,∨,∧,' , 𝟎, 𝟏〉到布尔代 数〈𝐵,∨,∧,' , 𝟎, 𝟏〉的同态(映射). 注意: 若𝑓是单射的,则称为单同态; 若𝑓是满射的,则称为满同态; 若𝑓是双射的,则称为同构; 若存在同构映射f,则称布尔代数〈𝐴,∨,∧ ,' , 𝟎, 𝟏〉和布尔代数〈𝐵,∨,∧,', 𝟎, 𝟏〉同构。 |
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