如何求梯度项平方的变分？

最近也遇到了类似的问题， 通过摸索找到了答案，可能题主已经不需要了，但我还是把它写下来。

直接写出表达式，不在赘述：

F[f(x)]=\int^b_a \mathrm{d}x\, f(x).

如果 f 增加了 \delta f , F 相应的增加量为：

\delta F=\int^b_a\mathrm{d}x\, \left.\frac{\delta F}{\delta f(x)}\right|_{f(x)}\delta f(x),

上式给出了泛函微分 \delta F/\delta f(x) 的定义，即在 x 处F 对 f(x) 的偏导。f 的增加量 \delta f 可表示为 \delta f = \epsilon\phi，

其中 \epsilon 为无限小量， \phi 为任意函数。相应的，通过泰勒展开一阶近似， F 的增量

\delta F=F[f+\epsilon\phi]-F(f)\approx\left.\frac{\mathrm{d} F[f+\epsilon \phi]}{\mathrm{d}\epsilon}\right|_{\epsilon=0}\epsilon.

对比以上两个关于 \delta F 的表达式，有：

\int^b_a\mathrm{d}x\, \left.\frac{\delta F}{\delta f(x)}\right|_{f(x)}\delta f(x)=\left.\frac{\mathrm{d} F[f+\epsilon \phi]}{\mathrm{d}\epsilon}\right|_{\epsilon=0}\epsilon,

注意到 \delta f = \epsilon\phi， 则

\int^b_a\mathrm{d}x\, \left.\frac{\delta F}{\delta f(x)}\right|_{f(x)}\phi(x)=\left.\frac{\mathrm{d} F[f+\epsilon \phi]}{\mathrm{d}\epsilon}\right|_{\epsilon=0}.

接下来只要求出 \mathrm{d}F/\mathrm{d}\epsilon ，就能得到 \delta F/\delta f 了。

考虑更一般的情况， F 不仅仅依赖于 f ，还依赖于x和f' ：

F=\int^b_a\mathrm{d}x\,L[x,f(x),f'(x)],

则有

\left.\frac{\mathrm{d} F[f+\epsilon \phi]}{\mathrm{d}\epsilon}\right|_{\epsilon=0}=\int^b_a\mathrm{d}x\,\left[\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial L}{\partial f'}\right]\phi,

上式的证明需要用到全微分的展开和分部积分，和Euler-Lagrange方程的推导是一样的，详见https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Lagrange_equation。联系上上上式，得到

\int^b_a\mathrm{d}x\,\left[\frac{\delta F}{\delta f}-\left(\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial L}{\partial f'}\right)\right]\phi=0.

因为 \phi 是任意的，要想积分为零，必须要求中括号里的项处处为零，即

\frac{\delta F}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial L}{\partial f'},

这样我们就得到了一维下泛函微分的表达式。如果令 \delta F/\delta f=0 ，上式就变为Euler-Lagrange方程。同样道理，如果 f 是一个矢量 \mathrm{r} 的函数，相应的泛函是

F=\int_\Omega\mathrm{d}\mathbf{r}\, L\left[\mathbf{r},f(\mathbf{r}),\nabla f(\mathbf{r})\right],

则泛函微分为

\frac{\delta F}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}-\nabla\cdot\frac{\partial L}{\partial \nabla f}.

用上式就可以方便地求出题主的Eq. (6)。