电磁场第二章公式总结

根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为 q = ∫ V ρ ( r ⃗ ) d V q=\int_{V}\rho(\vec{r})dV q=∫V​ρ(r )dV 如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电量q 为 q = ∫ S ρ S ( r ⃗ ) d S q=\int_{S}\rho_S(\vec{r})dS q=∫S​ρS​(r )dS 如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q 为 q = ∫ C ρ l ( r ⃗ ) d l q=\int_{C}\rho_l(\vec{r})dl q=∫C​ρl​(r )dl

i = lim ⁡ Δ t → 0 Δ q Δ t = d q d t i=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{dq}{dt} i=Δt→0lim​ΔtΔq​=dtdq​ 电流密度矢量 J ⃗ \vec{J} J J ⃗ = e ⃗ n lim ⁡ Δ S → 0 Δ i Δ S = e ⃗ n d i d S \vec{J}=\vec{e}_n\lim\limits_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta i}{\Delta S}=\vec{e}_n\frac{di}{dS} J =e n​ΔS→0lim​ΔSΔi​=e n​dSdi​ 流过任意曲面S 的电流为 i = ∫ S J ⃗ ⋅ d S ⃗ i=\int_S \vec{J}\cdot d\vec{S} i=∫S​J ⋅dS 面电流密度矢量 J ⃗ S \vec{J}_S J S​ J ⃗ S = e ⃗ t lim ⁡ Δ l → 0 Δ i Δ l = e ⃗ t d i d l \vec{J}_S=\vec{e}_t\lim\limits_{\Delta l\rightarrow 0}\frac{\Delta i}{\Delta l}=\vec{e}_t\frac{di}{dl} J S​=e t​Δl→0lim​ΔlΔi​=e t​dldi​ 通过薄导体层上任意有向曲线 l ⃗ \vec{l} l 的电流为 i = ∫ l J ⃗ S ⋅ ( e ⃗ n × d l ⃗ ) i=\int_l \vec{J}_S\cdot (\vec{e}_n\times d\vec{l}) i=∫l​J S​⋅(e n​×dl )

电流连续性方程 积分形式: ∮ S J ⃗ ⋅ d S = − d q d t = − d d t ∫ V ρ d V \oint_S \vec{J}\cdot dS=-\frac{dq}{dt}=-\frac{d}{dt}\int_V\rho dV ∮S​J ⋅dS=−dtdq​=−dtd​∫V​ρdV (流出闭合面S的电流等于体积V内单位时间所减少的电荷量) 微分形式: ∇ ⋅ J ⃗ = − ∂ ρ ∂ t \nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t} ∇⋅J =−∂t∂ρ​

真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力: F ⃗ 12 = e ⃗ R q 1 q 2 4 π ε 0 R 12 2 = q 1 q 2 R ⃗ 12 4 π ε 0 R 12 3 \vec{F}_{12}=\vec{e}_R\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0R^2_{12}}=\frac{q_1q_2\vec{R}_{12}}{4\pi\varepsilon_0R^3_{12}} F 12​=e R​4πε0​R122​q1​q2​​=4πε0​R123​q1​q2​R 12​​

定义式 E ⃗ ( r ⃗ ) = lim ⁡ q 0 → 0 F ⃗ ( r ⃗ ) q 0 \vec{E}(\vec{r})=\lim\limits_{q_0\rightarrow 0}\frac{\vec{F}(\vec{r})}{q_0} E (r )=q0​→0lim​q0​F (r )​

静电场的散度（微分形式）： ∇ ⋅ E ⃗ ( r ⃗ ) = ρ ( r ⃗ ) ε 0 \nabla\cdot \vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\varepsilon_0} ∇⋅E (r )=ε0​ρ(r )​(推导见书P43) 静电场的高斯定理(积分形式)： ∮ S E ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = 1 ε 0 ∫ V ρ ( r ⃗ ) d V \oint_S \vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(\vec{r})dV ∮S​E (r )⋅dS =ε0​1​∫V​ρ(r )dV

高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止于负电荷。

静电场的旋度（微分形式）： ∇ × E ⃗ ( r ⃗ ) = 0 \nabla\times \vec{E}(\vec{r})=0 ∇×E (r )=0 静电场的环路定理(积分形式)： ∫ c E ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d l ⃗ = 0 \int_{c}\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=0 ∫c​E (r )⋅dl =0 环路定理表明:静电场是无旋场，是保守场，电场力做功和路径无关

真空中的载流回路C1对 载流回路C2的作用力 F ⃗ 12 = μ 0 4 π ∫ C 2 ∫ C 1 I 2 d l ⃗ 2 × ( I 1 d l ⃗ 1 × R ⃗ 12 ) R 12 3 \vec{F}_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_2}\int_{C_1}\frac{I_2d\vec{l}_2\times(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3} F 12​=4πμ0​​∫C2​​∫C1​​R123​I2​dl 2​×(I1​dl 1​×R 12​)​

根据安培力定律，有 F ⃗ 12 = ∫ C 2 I 2 d l ⃗ 2 × μ 0 4 π ∫ C 1 ( I 1 d l ⃗ 1 × R ⃗ 12 ) R 12 3 = ∫ C 2 I 2 d l ⃗ 2 × B ⃗ 1 ( r ⃗ 2 ) \vec{F}_{12}=\int_{C_2}I_2d\vec{l}_2\times\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_1}\frac{(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}=\int_{C_2}I_2d\vec{l}_2\times\vec{B}_1(\vec{r}_2) F 12​=∫C2​​I2​dl 2​×4πμ0​​∫C1​​R123​(I1​dl 1​×R 12​)​=∫C2​​I2​dl 2​×B 1​(r 2​) 其中 B ⃗ 1 ( r ⃗ 2 ) = μ 0 4 π ∫ C 1 ( I 1 d l ⃗ 1 × R ⃗ 12 ) R 12 3 \vec{B}_1(\vec{r}_2)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_1}\frac{(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3} B 1​(r 2​)=4πμ0​​∫C1​​R123​(I1​dl 1​×R 12​)​ 电流 I 1 I_1 I1​在电流元 I 2 d l ⃗ 2 I_2d\vec{l}_2 I2​dl 2​处产生的磁感应强度

恒定场的散度(微分形式)： ∇ ⋅ B ⃗ ( r ⃗ ) = 0 \nabla\cdot\vec{B}(\vec{r})=0 ∇⋅B (r )=0在这里插入代码片 磁通连续性原理(积分形式): ∫ S B ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = 0 \int_S\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0 ∫S​B (r )⋅dS =0

磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和终点的闭合曲线

恒定磁场的旋度(微分形式): ∇ × B ⃗ ( r ⃗ ) = μ 0 J ⃗ ( r ⃗ ) \nabla\times\vec{B}(\vec{r})=\mu_0\vec{J}(\vec{r}) ∇×B (r )=μ0​J (r ) 安培环路定理(积分形式): ∮ C B ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d l ⃗ = μ 0 ∫ S J ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = μ 0 I \oint_{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=\mu_0\int_{S}\vec{J}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\mu_0I ∮C​B (r )⋅dl =μ0​∫S​J (r )⋅dS =μ0​I 安培环路定理表明:恒定磁场是有旋场，是非保守场，电流是磁场的漩涡源