自动控制原理5.1：频率特性

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编. 《自动控制原理PDF版下载》

控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能，频域分析法的特点：

设有稳定的线性定常系统，其传递函数为 G ( s ) = ∑ i = 0 m b i s m − i ∑ i = 0 n a i s n − i = B ( s ) A ( s ) G(s)=\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^mb_is^{m-i}}{\displaystyle\sum_{i=0}^na_is^{n-i}}=\frac{B(s)}{A(s)} G(s)=i=0∑n​ai​sn−ii=0∑m​bi​sm−i​=A(s)B(s)​ 系统输入为谐波信号： r ( t ) = A sin ⁡ ( ω t + φ ) ⇒ R ( s ) = A ( ω cos ⁡ φ + s sin ⁡ φ ) s 2 + ω 2 r(t)=A\sin(\omega{t}+\varphi)\Rightarrow{}R(s)=\frac{A(\omega\cos\varphi+s\sin\varphi)}{s^2+\omega^2} r(t)=Asin(ωt+φ)⇒R(s)=s2+ω2A(ωcosφ+ssinφ)​ 设 G ( j ω ) = a ( ω ) + j b ( ω ) c ( ω ) + j d ( ω ) = ∣ G ( j ω ) ∣ e j ∠ [ G ( j ω ) ] G({\rm j}\omega)=\frac{a(\omega)+{\rm j}b(\omega)}{c(\omega)+{\rm j}d(\omega)}=|G({\rm j}\omega)|{\rm e}^{{\rm j}\angle[G(j\omega)]} G(jω)=c(ω)+jd(ω)a(ω)+jb(ω)​=∣G(jω)∣ej∠[G(jω)]

∣ G ( j ω ) ∣ = ( b 2 ( ω ) + a 2 ( ω ) c 2 ( ω ) + d 2 ( ω ) ) 1 2 ， ∠ [ G ( j ω ) ] = arctan ⁡ b ( ω ) c ( ω ) + a ( ω ) d ( ω ) a ( ω ) c ( ω ) + d ( ω ) b ( ω ) |G({\rm j}\omega)|=\left(\frac{b^2(\omega)+a^2(\omega)}{c^2(\omega)+d^2(\omega)}\right)^{\frac{1}{2}}，\angle[G({\rm j}\omega)]=\arctan\frac{b(\omega)c(\omega)+a(\omega)d(\omega)}{a(\omega)c(\omega)+d(\omega)b(\omega)} ∣G(jω)∣=(c2(ω)+d2(ω)b2(ω)+a2(ω)​)21​，∠[G(jω)]=arctana(ω)c(ω)+d(ω)b(ω)b(ω)c(ω)+a(ω)d(ω)​

可得： { A ( ω ) = ∣ G ( j ω ) ∣ φ ( ω ) = ∠ [ G ( j ω ) ] \begin{cases} &A(\omega)=|G({\rm j}\omega)|\\\\ &\varphi(\omega)=\angle[G({\rm j}\omega)] \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​​A(ω)=∣G(jω)∣φ(ω)=∠[G(jω)]​

频率特性、传递函数、微分方程间的关系：

幅相曲线以横轴为实轴、纵轴为虚轴，构成复数平面；

将频率特性表示为实数和虚数和的形式，则实部为实轴坐标值，虚部为虚轴坐标值；若将频率特性表示为复指数形式，则为复平面上的向量，向量的长度为频率特性的幅值，向量与实轴正方向的夹角等于频率特性的相位；

系统幅相曲线中，频率 ω \omega ω为参变量，一般用小箭头表示 ω \omega ω增大时幅相曲线的变化方向；

实例说明：对于 R C {\rm RC} RC网络， G ( j ω ) = 1 1 + j T ω = 1 − j T ω 1 + ( T ω ) 2 ， [ R e G ( j ω ) − 1 2 ] 2 + I m 2 G ( j ω ) = ( 1 2 ) 2 G({\rm j}\omega)=\frac{1}{1+{\rm j}T\omega}=\frac{1-{\rm j}T\omega}{1+(T\omega)^2}，\left[{\rm Re}G({\rm j}\omega)-\frac{1}{2}\right]^2+{\rm Im}^2G({\rm j}\omega)=\left(\frac{1}{2}\right)^2 G(jω)=1+jTω1​=1+(Tω)21−jTω​，[ReG(jω)−21​]2+Im2G(jω)=(21​)2

R C {\rm RC} RC网络的幅相曲线是以 ( 1 2 , j 0 ) (\displaystyle\frac{1}{2},{\rm j}0) (21​,j0)为圆心，半径为 1 2 \displaystyle\frac{1}{2} 21​的半圆，如下图：

对数频率特性曲线由对数幅频曲线和对数相频曲线组成；

对数频率特性曲线的横坐标按 lg ⁡ ω \lg\omega lgω分度，单位为弧度/秒( r a d / s {\rm rad/s} rad/s)，对数幅频曲线的纵坐标按 L ( ω ) = 20 lg ⁡ ∣ G ( j ω ) ∣ = 20 lg ⁡ A ( ω ) L(\omega)=20\lg|G({\rm j}\omega)|=20\lg{A(\omega)} L(ω)=20lg∣G(jω)∣=20lgA(ω)线性分度，单位是分贝( d B {\rm dB} dB)；对数相频曲线的纵坐标按 φ ( ω ) \varphi(\omega) φ(ω)线性分度，单位为度(°)；由此构成的坐标系称为半对数坐标系；

线性分度：当变量增大或减小 1 1 1时，坐标间距离变化一个单位长度；对数分度：当变量增大或减小 10 10 10倍，称为十倍频程( d e c {\rm dec} dec)，坐标间距离变化一个单位长度；设对数分度中的单位长度为 L , ω L,\omega L,ω的某个十倍频程的左端点为 ω 0 \omega_0 ω0​，则坐标点相对于左端点的距离为下表所示值乘以 l l l；