初中数学七下(05)完全平方公式 知识点

初中数学完全平方公式

完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²

其中a和b可以是任意实数(正数，负数，零)，也可以是整式。例如下面的式子(-2+5)²=(-2)²+2×(-2)×5+5²(x+2y-3)²=(x+2y)²+2×(-3)×(x+2y)+(-3)²也可以利用(a-b)²=a²-2ab+b²(x+2y-3)²=(x+2y)²-2×3×(x+2y)+3²

简便运算和平方差公式一样，完全平方公式也可以用来简便运算例题1：计算3.14²+6.28×1.86+18.6×0.186原式=3.14²+2×3.14×1.86+1.86²=(3.14+1.86)²=5²=25能够发现完全平方是解题的关键，所以需要对公式特别熟悉。

完全平方公式的恒等变形

例题2：已知x+y=a,xy=b，用a，b的代数式表示x²+y²与(x-y)²根据完全平方公式(x+y)²=x²+2xy+y²适当变形x²+y²=(x+y)²-2xy=a²-2b(x-y)²=x²-2xy+y²=x²+2xy+y²-4xy=(x+y)²-4xy=a²-4b一定要熟悉上面的变化。它是以后一元二次方程中有关根与系数关系的应用。

例题3：已知x+ 1/x =2 ，求x²+1/x²的值。非常典型的一道题，虽然表面上只给出了两个数的和，但其实可以发现x与1/x互为倒数，即它俩的积是1（这是个隐藏的条件）。为了便于理解我们设x=a，1/x=b，那么其实这道题就是已知a+b=2，ab=1，求a²+b²的值。所以a²+b²=(a+b)²-2ab=2²-2=2

非负性由于一个数的平方肯定是大于等于0，所以a²+2ab+b²可以写成完全平方的形式(a+b)²，而得到a²+2ab+b²=(a+b)²≥0 可以利用非负数的性质来解题。由于绝对值也有非负性，所以它们经常混在一起出题。例题4：已知|a-2|+a²+2ab+b²=0，求ab的值。

由于a²+2ab+b²=(a+b)²≥0；|a-2|≥0，且和是0，所以|a-2|=0；(a+b)²=0。解得a=2，b=-2。ab=2×(-2)=-4

完全平方公式与平方差公式是最重要的两个公式，大家一定要掌握熟练，熟悉它们的各种变形公式。

希望能对大家有所帮助，谢谢大家的关注。