【集合论】等价关系 ( 等价关系概念

等价关系概念 :

A A A 集合是非空集合 , A ≠ ∅ A \not= \varnothing A​=∅ , 并且 R R R 关系是 A A A 集合上的二元关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A\times A R⊆A×A ;

如果 R R R 关系是 自反 , 对称 , 传递 的 , 那么称 R R R 关系是 等价关系 ;

1. 关系 1 1 1 : x x x 与 y y y 年龄相同 ;

由上边可以看出 , 等价关系是用于分类的 , 同一年出生的人可以划分到一个等价类中 ;

2. 关系 2 2 2 : x x x 与 y y y 姓氏相同 ;

3. 关系 3 3 3 : x x x 年龄大于等于 y y y ;

4. 关系 4 4 4 : x x x 与 y y y 选修同一门课程 ;

5. 关系 5 5 5 : x x x 体重大于 y y y ;

A A A 集合是非空集合 , A ≠ ∅ A \not= \varnothing A​=∅ , 并且 R R R 关系是 A A A 集合上的二元关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A\times A R⊆A×A ;

对 R R R 关系求三种闭包 , 有 6 6 6 种不同的顺序 , 讨论这些求闭包结果的性质 ;

6 6 6 种求闭包的性质 :

r t s ( R ) rts(R) rts(R) : 先求对称闭包 , 再求传递闭包 , 最后求自反闭包 ;

t r s ( R ) trs(R) trs(R) : 先求对称闭包 , 再求自反闭包 , 最后求传递闭包 ;

t s r ( R ) tsr(R) tsr(R) : 先求自反闭包 , 再求对称闭包 , 最后求传递闭包 ;

r s t ( R ) rst(R) rst(R) : 先求传递闭包 , 再求对称闭包 , 最后求自反闭包 ;

s r t ( R ) srt(R) srt(R) : 先求传递闭包 , 再求自反闭包 , 最后求对称闭包 ;

s t r ( R ) str(R) str(R) : 先求自反闭包 , 再求传递闭包 , 最后求对称闭包 ;

参考 : 【集合论】关系闭包 ( 关系闭包求法 | 关系图求闭包 | 关系矩阵求闭包 | 闭包运算与关系性质 | 闭包复合运算 ) 五、闭包复合运算

因此这里分为两大类

先求对称闭包 , 再求传递闭包 :

固定 ts 运算的顺序 , 先 t 后 s , r 运算可以放在任意位置 ;

自反与其它两个闭包运算没有冲突 , 在任意位置都可以 ;

对称与传递 , 后求的传递 , 因此其结果是传递的 ;

上述三个顺序产生的结果是 自反 , 对称 , 传递 的 , 其满足等价关系 , 结果是 等价闭包 ;

先求对传递包 , 再求对称闭包 :

固定 st 运算的顺序 , 先 s ( 对称闭包 ) 后 t ( 传递闭包 ) , r ( 对称闭包 ) 运算可以放在任意位置 ;

自反与其它两个闭包运算没有冲突 , 在任意位置都可以 ;

对称与传递 , 先求的传递 , 然后求对称 , 对称会破坏传递 , 因此其结果不是传递的 ;

上述三个顺序产生的结果是 自反 , 对称 , 不传递 的 , 其不满足等价关系 ;