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§ 4 § 4 §4 矩阵相似的条件 在求数字矩阵 A \boldsymbol{A} A 的特征值和特征向量时曾出现过 λ \lambda λ-矩阵 λ E − A \lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} λE−A, 我们称它为 A \boldsymbol{A} A的特征矩阵. 这一节的主要结果是证明两个 n × n n \times n n×n 数字矩阵 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 λ E − A \lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} λE−A 和 λ E − B \lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B} λE−B 等价. 引理 1 如果有 n × n n \times n n×n 数字矩阵 P 0 , Q 0 \boldsymbol{P}_{0}, \boldsymbol{Q}_{0} P0,Q0, 使 λ E − A = P 0 ( λ E − B ) Q 0 , \lambda E-A=P_{0}(\lambda E-B) Q_{0}, λE−A=P0(λE−B)Q0, 则 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 相似. 证明 因 P 0 ( λ E − B ) Q 0 = λ P 0 Q 0 − P 0 B Q 0 \boldsymbol{P}_{0}(\lambda E-B) Q_{0}=\lambda P_{0} Q_{0}-P_{0} B Q_{0} P0(λE−B)Q0=λP0Q0−P0BQ0, 它又与 λ E − A \lambda E-A λE−A 相等, 进行比较后应有 P 0 Q 0 = E , P 0 B Q 0 = A \boldsymbol{P}_{0} \boldsymbol{Q}_{0}=\boldsymbol{E}, \boldsymbol{P}_{0} \boldsymbol{B} \boldsymbol{Q}_{0}=\boldsymbol{A} P0Q0=E,P0BQ0=A. 由此 Q 0 = P 0 − 1 \boldsymbol{Q}_{0}=\boldsymbol{P}_{0}^{-1} Q0=P0−1, 而 A = P 0 B P 0 − 1 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}_{0} \boldsymbol{B} \boldsymbol{P}_{0}^{-1} A=P0BP0−1. 故 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 相似. I 引理 2 对于任何不为零的 n × n n \times n n×n 数字矩阵 A \boldsymbol{A} A 和 λ \lambda λ-矩阵 U ( λ ) \boldsymbol{U}(\lambda) U(λ) 与 V ( λ ) \boldsymbol{V}(\lambda) V(λ), 二定存在 λ \lambda λ-矩阵 Q ( λ ) \boldsymbol{Q}(\lambda) Q(λ) 与 R ( λ ) \boldsymbol{R}(\lambda) R(λ) 以及数字矩阵 U 0 \boldsymbol{U}_{0} U0 和 V 0 \boldsymbol{V}_{0} V0, 使 U ( λ ) = ( λ E − A ) Q ( λ ) + U 0 , V ( λ ) = R ( λ ) ( λ E − A ) + V 0 . \begin{array}{l} \boldsymbol{U}(\lambda)=(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{Q}(\lambda)
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