关于KMP算法next数组的改进

KMP算法的核心思路：

问题由模式串决定，而不是由目标串决定！

此文前提是已掌握next数组算法！

假设模式串及其next数组：

模式串开始与目标串匹配：

模式串位置4与目标串位置4不匹配，所以下一步模式串指针应该按照next[4]移动:

但我们发现，这没有丝毫意义，刚刚就是因为模式串‘B’与目标串‘C’不匹配导致我们按照数组next调整指针位置，但调整后的指针所在位置模式串元素仍为’B’，自然仍不匹配，还要继续按照数组next回溯指针。

但是我们可不可以改进next数组来避免做类似无用功呢？

于是诞生了nextval数组，同样的，我们假设模式串为：

**与next数组一致，如果位置1元素即不匹配，该位置nextval数组值为0**

（不是本文重要因素，故原因略去）

紧接着，假如位置1元素已匹配，位置2元素不匹配，按照位置2所对应的next数组值我们应回溯至位置1，但是我们发现位置1与位置2元素一样，所以说回溯之后仍是相同元素（非同一个）在与目标串比较，显然仍不匹配，就会继续回溯到位置1所对应的next数组值即0。

按照这个原理，我们设模式串的指针为k：

情况一：

特别地，我们发现位置1与位置2元素相同，在位置2不匹配(此时k=2)时我们按照next[2]=1,k回溯至位置1，像上文位置1元素与位置2元素相同，用模式串的位置1元素继续比较无意义，继续按照next[1]=0回溯指针，指针已到头，回溯结束，因此，我们记位置2对应的nextval数组值为0，此时next[2]=1而nextval[2]=0,两数组值不同。（记住这种情况的回溯过程，后文会引用）

情况二：

继续向下移动指针k，假设k移动到位置3,k之前元素已匹配，而k此时所指元素不匹配，那我们就指针回溯，按照位置3所对应的next数组值我们应回溯至位置2，这时我们发现情况和上述有所区别，位置2与位置3元素不相同，所以回溯后可能匹配成功（此时k=2），所以我们记位置3对应的nextval数组值为2，即nextval[3]=2=next[3],发现此时该位置next数组值与nextval数组值相同。

那何时next数组值与nextval数组值相同？又何时不同呢？

我们发现：当在k位置不匹配时，如果k位置所对元素与next[k]位置所对元素相同时，它们两数组值不同；而如果k位置所对元素与next[k]位置所对元素不相同时，它们两数组值相同。

好，现在我们发现了这个规律，接着上面的情况，继续让k指针向下移动，k移动到位置4（之前元素已匹配），假设此时不匹配，指针回溯到next[4]=1,而位置1元素与位置4元素相同，继续回溯next[1]=0，所以位置4所对nextval数组值为0（nextval[4]=0），与next[4]=1不同，符合上述发现。

乘胜追击，继续让k指针向下移动，k移动到位置5，假设此时不匹配，指针回溯到next[5]=2,而位置2元素与位置5元素相同，继续回溯next[2]=1，位置1元素与位置5元素仍相同，继续回溯next[1]=0所以位置5所对nextval数组值为0（nextval[5]=0），与next[5]=2不同，符合上述发现。

但是，“乘胜追击”的情况指针k都不止回溯了一次，两次的回溯出现了两次的元素相同，在指针从2回溯到1回溯到最终的0的操作，实际上也就是当k=2（上文情况一）时指针最终回溯至nextval[2]=0，所以说我们可以直接利用之前（并不一定是上一次）操作得出的nextval数组值来简化重复的操作。也就是说，如果位置k的元素与next[k]元素相同时，nextval[k]=nextval[next[k]]。

现在，我们已经验证并完善了“发现”关于“如果k位置所对元素与next[k]位置所对元素相同时，它们两数组值不同”，接着我们验证另一部分“如果k位置所对元素与next[k]位置所对元素不相同时，它们两数组值相同。”

继续下移指针k至位置7，假设之前元素已匹配，位置7此时不匹配，指针回溯至next[7]=4，位置4元素与位置7元素不同，此时位置4元素可能与目标串匹配成功，故nextval[7]=4,即nextval[7]=next[7]=4，太棒啦，“发现”的另一部分也被验证正确了。

如果位置k的元素与next[k]元素相同时，nextval[k]=nextval[next[k]]

如果位置k的元素与next[k]元素不同时，nextval[k]= next[k]