高等数学

映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一种

设 X 、 Y X、Y X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f f f，使得对 X X X中每个元素 x x x，按法则 f f f,在 Y Y Y中有唯一确定的元素 y y y与之对应，那么称 f f f为从 X X X到 Y Y Y的映射，记作 f : X → Y f:X \to Y f:X→Y 其中 y y y称为元素 x x x(在映射 f f f下)的像，并记作 f ( x ) f(x) f(x),即 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 而元素 x x x称为元素 y y y(在映射 f f f下)的一个原像；集合 X X X称为映射 f f f的定义域，记作 D f D_{f} Df​，即 D f = X ; X D_{f} = X;X Df​=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f f f的值域，记作 R f R_{f} Rf​或 f ( X ) f(X) f(X)，即 R f = f ( X ) = f ( X ) ∣ x ∈ X R_f = f(X) = {f(X)|x \in X} Rf​=f(X)=f(X)∣x∈X

从上述映射的定义中，需要注意的是：

设 f f f是从集合 X X X到集合 Y Y Y的映射；

注：映射又称为算子。根据集合X、Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称。

设 f 是 X 到 Y 的 单 射 ， 则 由 定 义 ， 对 每 个 y ∈ R f ， 有 唯 一 的 x ∈ X ， 适 合 f ( x ) = y 。 于 是 ， 我 们 可 定 义 一 个 R f 到 X 的 新 映 射 g ， 即 设f是X到Y的单射，则由定义，对每个y \in R_f，有唯一的x \in X，适合f(x) = y。于是，我们可定义一个R_f到X的新映射g，即 设f是X到Y的单射，则由定义，对每个y∈Rf​，有唯一的x∈X，适合f(x)=y。于是，我们可定义一个Rf​到X的新映射g，即 g : R f → X ， g:R_f \to X， g:Rf​→X， 对 每 个 y ∈ R f ， 规 定 g ( y ) = x ， 这 x 满 足 f ( x ) = y 。 这 个 映 射 g 称 为 f 的 对每个y \in R_f，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y。这个映射g称为f的 对每个y∈Rf​，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y。这个映射g称为f的逆映射， 记 作 f − 1 ， 其 定 义 域 D f − 1 = R f ， 值 域 R f − 1 = X 记作f^{-1}，其定义域D_{f^{-1}}=R_f，值域R_{f^{-1}}=X 记作f−1，其定义域Df−1​=Rf​，值域Rf−1​=X

注：按上述的定义，只有单射才存在逆映射。

设有两个映射 g : X → Y 1 ， f : Y 2 → Z ， g:X \to Y_1，f:Y_2 \to Z， g:X→Y1​，f:Y2​→Z， 其 中 Y 1 ⊂ Y 2 ， 则 由 映 射 g 和 f 可 以 定 出 一 个 从 X 到 Z 的 对 应 法 则 ， 它 将 每 个 x ∈ X 映 成 f [ g ( x ) ] ∈ Z 。 显 然 ， 这 个 对 应 法 则 确 定 了 一 个 从 X 到 Z 的 映 射 ， 这 个 映 射 称 为 映 射 g 和 f 构 成 的 其中Y_1 \sub Y_2，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个x \in X映成f[g(x)] \in Z。显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的 其中Y1​⊂Y2​，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个x∈X映成f[g(x)]∈Z。显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射， 记 作 f ∘ g 记作f \circ g 记作f∘g，即 f ∘ g ： X → Z ， ( f ∘ g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] , x ∈ X f \circ g：X \to Z，(f \circ g)(x)=f[g(x)],x \in X f∘g：X→Z，(f∘g)(x)=f[g(x)],x∈X 由 复 合 映 射 的 定 义 可 知 ， 映 射 g 和 f 构 成 复 合 映 射 的 条 件 是 ： g 的 值 域 R g 必 须 包 含 在 f 的 定 义 域 内 ， 即 R g ⊂ D f ， 否 则 ， 不 能 构 成 复 合 映 射 。 由 此 可 以 知 道 ， 映 射 g 和 f 的 复 合 是 有 顺 序 的 ， f ∘ g 有 意 义 并 不 表 示 g ∘ f 也 有 意 义 ， 即 使 f ∘ g 和 g ∘ f 都 有 意 义 ， 复 合 映 射 f ∘ g 和 g ∘ f 也 未 必 相 同 。 由复合映射的定义可知，映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域R_g必须包含在f的定义域内，即R_g \sub D_f，否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射g和f的复合是有顺序的，f \circ g有意义并不表示g \circ f 也有意义，即使f \circ g和g \circ f都有意义，复合映射f \circ g和g \circ f也未必相同。 由复合映射的定义可知，映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域Rg​必须包含在f的定义域内，即Rg​⊂Df​，否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射g和f的复合是有顺序的，f∘g有意义并不表示g∘f也有意义，即使f∘g和g∘f都有意义，复合映射f∘g和g∘f也未必相同。