【数学与算法】曲线上各点的曲率kappa和倾角theta

曲线上每个点的两个属性,倾角 θ \color{red}\theta θ 和曲率 k a p p a \color{red}kappa kappa。

就是用两个点的弦来代替该点的切线，这样就可以使用 A 、 B \color{red}A、B A、B 两点的坐标【(x,y)都已知】来求解下图的 α \color{red}\alpha α，该 α \color{red}\alpha α 就是 A \color{red}A A点的近似倾角。

t a n α = Δ y Δ x \color{red}tan{\alpha}=\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} tanα=ΔxΔy​，即曲线相邻两个点的水平方向距离除以竖直方向距离，就是 α \color{red}\alpha α的正切值。

因为使用 α \color{red}\alpha α 来近似 θ \color{red}\theta θ ，所以代码中就使用 α \color{red}\alpha α 的值为倾角 θ \color{red}\theta θ 的值：

t a n θ = Δ y Δ x \color{red}tan{\theta}=\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} tanθ=ΔxΔy​

曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。

曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。

如上图，一段曲线上有两点 A \color{red}A A和 B \color{red}B B。

在离散曲线的每个点的切线与 x \color{red}x x方向的夹角 β \color{red}\beta β都是已知的， 那么对于曲线上每一个点，它相对于上一个点的切线转动角 α \color{red}\alpha α，都可以通过 α = β 2 − β 1 \color{red}\alpha=\beta_{2}-\beta_{1} α=β2​−β1​,求解得到。

并且，可以知道， α = ∠ A O B \color{red}\alpha=\angle{AOB} α=∠AOB，即两点切线的转角等于曲率圆的两点和圆心构成角度。

由于曲线上 A \color{red}A A、 B \color{red}B B 两点很近，可把弧 A B \color{red}{AB} AB近似等于弦长 A B \color{red}{AB} AB,那么 根据曲率公式可得到每一个点的曲率为: k = α A B \color{red}k=\frac{\alpha}{AB} k=ABα​ 因为，弧长公式: s = α ∗ R \color{red}s=\alpha*R s=α∗R，得到： 1 R = α s \color{red}\frac{1}{R}=\frac{\alpha}{s} R1​=sα​，所以也可以简单理解为，曲率就是半径的倒数: k = 1 R \color{red}k=\frac{1}{R} k=R1​。

每一点的曲率kappa需要用到上一个点的倾角与该点自己的倾角，当曲线每个点的xy坐标知晓时，每个点的曲率都可以求解出来。 最后一个点的倾角不能求，就不用求，过滤掉该点。

假设曲线共有n个点，分为两个大步骤：

百度百科：曲率 离散点（离散序列）曲率计算那点事