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高度平衡二叉搜索树（AVLTree）
目录
AVL树的概念AVL树节点的定义AVL树的插入AVL树的旋转右单旋左单旋左右双旋右左双旋
AVL树的验证代码实现
AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1,平衡因子的求法=右子树高度-左子树的高度 
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O(log2N)，搜索时间复杂度O( log2N)。
AVL树节点的定义
AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子 
pair Insert(const pair& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return make_pair(_root, true);
}
// 找到存储位置，把数据插入进去
Node* parent = _root, *cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first
return make_pair(cur, true);
}
}
cur = new Node(kv);
Node* newnode = cur;
if (parent->_kv.first
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 控制平衡
// 1、更新平衡因子
// 2、如果出现不平衡，则需要旋转
//while (parent)
while (cur != _root)
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
// parent所在的子树高度变了，会影响parent->parent
// 继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//parent所在子树已经不平衡，需要旋转处理一下
if (parent->_bf == -2)
{
if (cur->_bf == -1)
{
// 右单旋
RotateR(parent);
}
else // cur->_bf == 1
{
RotateLR(parent);
}
}
else // parent->_bf == 2
{
if (cur->_bf == 1)
{
// 左单旋
RotateL(parent);
}
else // cur->_bf == -1
{
RotateRL(parent);
}
}
break;
}
else
{
// 插入节点之前，树已经不平衡了，或者bf出错。需要检查其他逻辑
assert(false);
}
}
return make_pair(newnode, true);
}
AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
1. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
2. 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentParent->_left == parent)
parentParent->_left = subL;
else
parentParent->_right = subL;
subL->_parent = parentParent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
左单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentParent->_left == parent)
parentParent->_left = subL;
else
parentParent->_right = subL;
subL->_parent = parentParent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
// ...平衡因子调节还需要具体分析
if (bf == -1)
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
// 平衡因子更新
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
验证其为二叉搜索树 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1 
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 检查一下平衡因子是否正确
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout
AVLTreeNode* _left;
AVLTreeNode* _right;
AVLTreeNode* _parent;
// 右子树的高度-左子树的高度
int _bf; // 平衡因子 balance factor
pair _kv;
AVLTreeNode(const pair& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
, _kv(kv)
{}
};
template
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode Node;
public:
AVLTree()
:_root(nullptr)
{}
// 拷贝构造和赋值需要实现深拷贝
void _Destory(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_Destory(root->_left);
_Destory(root->_right);
delete root;
}
~AVLTree()
{
_Destory(_root);
_root = nullptr;
}
V& operator[](const K& key)
{
pair ret = Insert(make_pair(key, V()));
return ret.first->_kv.second;
}
pair Insert(const pair& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return make_pair(_root, true);
}
// 找到存储位置，把数据插入进去
Node* parent = _root, *cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first
return make_pair(cur, true);
}
}
cur = new Node(kv);
Node* newnode = cur;
if (parent->_kv.first
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 控制平衡
// 1、更新平衡因子
// 2、如果出现不平衡，则需要旋转
//while (parent)
while (cur != _root)
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
// parent所在的子树高度变了，会影响parent->parent
// 继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//parent所在子树已经不平衡，需要旋转处理一下
if (parent->_bf == -2)
{
if (cur->_bf == -1)
{
// 右单旋
RotateR(parent);
}
else // cur->_bf == 1
{
RotateLR(parent);
}
}
else // parent->_bf == 2
{
if (cur->_bf == 1)
{
// 左单旋
RotateL(parent);
}
else // cur->_bf == -1
{
RotateRL(parent);
}
}
break;
}
else
{
// 插入节点之前，树已经不平衡了，或者bf出错。需要检查其他逻辑
assert(false);
}
}
return make_pair(newnode, true);
}
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
// ...平衡因子调节还需要具体分析
if (bf == -1)
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
// 平衡因子更新
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
subR->_left = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentParent->_left == parent)
{
parentParent->_left = subR;
}
else
{
parentParent->_right = subR;
}
subR->_parent = parentParent;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentParent->_left == parent)
parentParent->_left = subL;
else
parentParent->_right = subL;
subL->_parent = parentParent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
// 1、工作中会用的（AVL树不会自己写，这里通过插入深入理解一下他的性质就够了）
// 2、校招会考的（基本不会问删除的细节）
// 有兴趣的可以下去实现一下。
bool Erase(const K& key)
{
return false;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 检查一下平衡因子是否正确
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout |