大学物理复习笔记：刚体力学基础，动量矩

匀质圆环(质量为M，半径为R) d J = d m × R 2 在 圆 环 上 取 一 小 段 为 d l ， 则 这 一 小 段 的 质 量 d m = d l 2 π R M J = ∫ 0 2 π R R 2 d m = ∫ 0 2 π R R 2 × M 2 π R d l = M R 2 dJ=dm\times{R^2}\\ 在圆环上取一小段为dl，则这一小段的质量dm=\frac{dl}{2\pi{R}}M\\ J=\int_0^{2\pi{R}}R^2dm=\int_0^{2\pi{R}}R^2\times\frac{M}{2\pi{R}}dl=MR^2 dJ=dm×R2在圆环上取一小段为dl，则这一小段的质量dm=2πRdl​MJ=∫02πR​R2dm=∫02πR​R2×2πRM​dl=MR2

匀质圆盘(质量为M，半径为R) d J = d m × R 2 在 圆 盘 上 距 离 圆 心 为 r 处 取 一 个 宽 度 为 d r 的 圆 环 ， 略 去 高 阶 无 穷 小 则 圆 环 质 量 ： d m = π ( r + d r ) 2 − π r 2 π R 2 M = 2 r d r R 2 M J = ∫ 0 R r 2 d m = ∫ 0 R 2 r 3 R 2 M d r = 1 2 M R 2 dJ=dm\times{R^2}\\ 在圆盘上距离圆心为r处取一个宽度为dr的圆环，略去高阶无穷小\\ 则圆环质量：dm=\frac{\pi(r+dr)^2-\pi{r^2}}{\pi{R^2}}M=\frac{2rdr}{R^2}M\\ J=\int_0^{R}r^2dm=\int_0^{R}\frac{2r^3}{R^2}Mdr=\frac{1}{2}MR^2 dJ=dm×R2在圆盘上距离圆心为r处取一个宽度为dr的圆环，略去高阶无穷小则圆环质量：dm=πR2π(r+dr)2−πr2​M=R22rdr​MJ=∫0R​r2dm=∫0R​R22r3​Mdr=21​MR2

匀质球体（质量为M，半径为R） J = 2 5 M R 2 J=\frac{2}{5}MR^2 J=52​MR2

均匀圆柱体（质量为M，半径为R） ( 类 似 于 圆 盘 ) d J = d m × r 2 在 圆 柱 上 底 面 距 离 圆 柱 上 底 面 的 圆 心 为 r 处 取 一 个 宽 度 为 d r 的 圆 环 ， 略 去 高 阶 无 穷 小 则 圆 柱 环 质 量 ： d m = d S × h = π ( r + d r ) 2 h − π r 2 h π R 2 h M = 2 r d r R 2 M J = ∫ 0 R r 2 × 2 r M R 2 d r = 1 2 M R 2 (类似于圆盘)\\ dJ=dm\times{r^2}\\ 在圆柱上底面距离圆柱上底面的圆心为r处取一个宽度为dr的圆环，略去高阶无穷小\\ 则圆柱环质量：dm=dS\times{h}=\frac{\pi(r+dr)^2h-\pi{r^2}h}{\pi{R^2}h}M=\frac{2rdr}{R^2}M\\ J=\int_{0}^{R}r^2\times\frac{2rM}{R^2}dr=\frac{1}{2}MR^2 (类似于圆盘)dJ=dm×r2在圆柱上底面距离圆柱上底面的圆心为r处取一个宽度为dr的圆环，略去高阶无穷小则圆柱环质量：dm=dS×h=πR2hπ(r+dr)2h−πr2h​M=R22rdr​MJ=∫0R​r2×R22rM​dr=21​MR2

均匀细杆（质量为M，长度为L） d J = d m × x 2 在 细 杆 距 离 中 心 x 处 取 一 段 微 元 d x ， 则 微 元 质 量 d m = d x l M J = ∫ − l 2 l 2 x 2 d m = ∫ − l 2 l 2 x 2 × d x l M = 1 12 M L 2 dJ=dm\times{x^2}\\ 在细杆距离中心x处取一段微元dx，则微元质量dm=\frac{dx}{l}M\\ J=\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}x^2dm=\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}x^2\times\frac{dx}{l}M=\frac{1}{12}ML^2 dJ=dm×x2在细杆距离中心x处取一段微元dx，则微元质量dm=ldx​MJ=∫−2l​2l​​x2dm=∫−2l​2l​​x2×ldx​M=121​ML2