概率论与数理统计

2024-06-26 14:05| 来源: 网络整理| 查看: 265

1. 方差的性质

2. 协方差与相关系数

3. 不相关与独立

4. 矩、协方差矩阵、多元正态分布的性质

1. 方差的性质性质

1）c是常数，D(c) = 0

2) 设X是随机变量，c是常数，则有 $D(cX) = c^2D(X)$ ( $D(-X) = D(X)$ )

3) 设X，Y是两个随机变量，则 $D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\cdot E([X-E(X)][Y-E(Y)])$

特别地，若X，Y相互独立，则有 $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$

综合上述三项, 设X,Y相互独立, a,b,c是常数,则： $D(aX+bY+c) = a^2D(X) + b^2D(Y)$ ( $D(X+c) = D(X)$ )

推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况：

$D(c_0+\sum_{i=1}^{n}c_iX_i) = \sum_{i=1}^{n}c_i^2D(X_i)$

4) $D(X)=0 \Leftrightarrow P(X=c)=1 ,c=E(X)$

证明

例题

2. 协方差与相关系数

设X, Y是两个随机变量, 则有：

$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\cdot E([X-E(X)][Y-E(Y)])$

特别地，若X，Y相互独立，则有 $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ 。即当X与Y相互独立时，有 $E([X-E(X)][Y-E(Y)]) = 0$ ；当X与Y不相互独立时， $E([X-E(X)][Y-E(Y)]) \neq 0$ .(X,Y的协方差)

定义

数值 $E([X-E(X)][Y-E(Y)])$ 称为随机变量X和Y的协方差，记作Cov(X,Y)，即：

此时D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).

协方差Cov( X ,Y )反映了随机变量X与Y的线性相关性:

1)当Cov( X ,Y )>0时，X与Y正相关。

2)当Cov( X ,Y )

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