分段五次多项式插值(MATLAB实现)

  给定 n + 1 n+1 n+1个点序列 ( t i , p i ) (t_i,p_i) (ti​,pi​)，利用分段五次多项式插值，使得分段多项式经过所有点序列。其中， t i t_i ti​必须单调递增， i = 0 , 1 , . . . , n i=0,1,...,n i=0,1,...,n。

  起点处一阶导数估计： v 0 = ( p 1 − p 0 ) / ( t 1 − t 0 ) (1) v_0=(p_1-p_0)/(t_1-t_0)\tag 1 v0​=(p1​−p0​)/(t1​−t0​)(1)   终点处一阶导数估计： v n = ( p n − p n − 1 ) / ( t n − t n − 1 ) (2) v_n=(p_n-p_{n-1})/(t_n-t_{n-1})\tag 2 vn​=(pn​−pn−1​)/(tn​−tn−1​)(2)   中间点处一阶导数估计：

v k = ( d k + d k + 1 ) / 2 (3) v_k=(d_k+d_{k+1})/2 \tag 3 vk​=(dk​+dk+1​)/2(3)   其中， d k = ( p k − p k − 1 ) / ( t k − t k − 1 ) d_k=(p_k-p_{k-1})/(t_k-t_{k-1}) dk​=(pk​−pk−1​)/(tk​−tk−1​)。

  起点处二阶导数估计： a c c 0 = ( v 1 − v 0 ) / ( t 1 − t 0 ) (4) acc_0=(v_1-v_0)/(t_1-t_0)\tag 4 acc0​=(v1​−v0​)/(t1​−t0​)(4)   终点处二阶导数估计： a c c n = ( v n − v n − 1 ) / ( t n − t n − 1 ) (5) acc_n=(v_n-v_{n-1})/(t_n-t_{n-1})\tag 5 accn​=(vn​−vn−1​)/(tn​−tn−1​)(5)   中间点处二阶导数估计： a c c k = ( e k + e k + 1 ) / 2 (6) acc_k=(e_k+e_{k+1})/2 \tag 6 acck​=(ek​+ek+1​)/2(6)   其中， e k = ( v k − v k − 1 ) / ( t k − t k − 1 ) e_k=(v_k-v_{k-1})/(t_k-t_{k-1}) ek​=(vk​−vk−1​)/(tk​−tk−1​)。

  设五次多项式为: p ( t ) = a 0 + a 1 ( t − t s ) + a 2 ( t − t s ) 2 + a 3 ( t − t s ) 3 + a 4 ( t − t s ) 4 + a 5 ( t − t s ) 5 p(t) = a_0 + a_1(t -t_s)+ a_2(t -t_s)^2+a_3(t -t_s)^3+a_4(t -t_s)^4+a_5(t -t_s)^5 p(t)=a0​+a1​(t−ts​)+a2​(t−ts​)2+a3​(t−ts​)3+a4​(t−ts​)4+a5​(t−ts​)5，一阶导数： p ′ ( t ) = a 1 + 2 a 2 ( t − t s ) + 3 a 3 ( t − t s ) 2 + 4 a 4 ( t − t s ) 3 + 5 a 5 ( t − t s ) 4 p'(t) = a_1+ 2a_2(t -t_s)+3a_3(t -t_s)^2+4a_4(t -t_s)^3+5a_5(t -t_s)^4 p′(t)=a1​+2a2​(t−ts​)+3a3​(t−ts​)2+4a4​(t−ts​)3+5a5​(t−ts​)4，二阶导数： p ′ ′ ( t ) = 2 a 2 + 6 a 3 ( t − t s ) + 12 a 4 ( t − t s ) 2 + 20 a 5 ( t − t s ) 3 p''(t) = 2a_2+6a_3(t -t_s)+12a_4(t -t_s)^2+20a_5(t -t_s)^3 p′′(t)=2a2​+6a3​(t−ts​)+12a4​(t−ts​)2+20a5​(t−ts​)3。   对于每一段五次多项式，利用端点处约束: { p ( t s ) = p s p ′ ( t s ) = v s p ′ ′ ( t s ) = a s p ( t e ) = p e p ′ ( t e ) = v e p ′ ′ ( t e ) = a e (7) \begin{cases} p(t_s)=p_s \\ p'(t_s)=v_s \\ p''(t_s)=a_s \\ p(t_e)=p_e \\ p'(t_e)=v_e \\ p''(t_e)=a_e \\ \tag 7 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​p(ts​)=ps​p′(ts​)=vs​p′′(ts​)=as​p(te​)=pe​p′(te​)=ve​p′′(te​)=ae​​(7)   容易求得系数： { a 0 = p s a 1 = v s a 2 = a s / 2 a 3 = [ 20 h − ( 8 v e + 12 v s ) T − ( 3 a s − a e ) T 2 ] / ( 2 T 3 ) a 4 = [ − 30 h + ( 14 v e + 16 v s ) T + ( 3 a s − 2 a e ) T 2 ] / ( 2 T 4 ) a 5 = [ 12 h − 6 ( v e + v s ) T − ( a s − a e ) T 2 ] / ( 2 T 5 ) (8) \begin{cases} a_0=p_s \\ a_1=v_s \\ a_2=a_s/2 \\ a_3=[20h-(8v_e+12v_s)T - (3a_s-a_e)T^2]/(2T^3) \\ a_4=[-30h+(14v_e+16v_s)T + (3a_s-2a_e)T^2]/(2T^4) \\ a_5=[12h-6(v_e+v_s)T - (a_s-a_e)T^2]/(2T^5) \\ \tag 8 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​a0​=ps​a1​=vs​a2​=as​/2a3​=[20h−(8ve​+12vs​)T−(3as​−ae​)T2]/(2T3)a4​=[−30h+(14ve​+16vs​)T+(3as​−2ae​)T2]/(2T4)a5​=[12h−6(ve​+vs​)T−(as​−ae​)T2]/(2T5)​(8)   其中， h = p e − p s , T = t e − t s h=p_e-p_s,T=t_e-t_s h=pe​−ps​,T=te​−ts​。