神奇的多项式求导矩阵与积分矩阵

线性代数是一门有趣又有用的学科。基于机器学习、深度学习等技术的人工智能的核心数学知识就包含数理统计、微积分与线性代数。

通过 求导矩阵 对多项式求导：

例：

f ( x ) = 4 x 2 + 3 x + 2 f(x) = 4 x^2 + 3 x + 2 f(x)=4x2+3x+2

则声明其系数向量与次数矩阵。

y = [ 4 3 2 ] y = \left[\begin{aligned} 4\\ 3\\ 2\\ \end{aligned}\right] y=⎣⎢⎡​432​⎦⎥⎤​

D = [ 0 0 0 2 0 0 0 1 0 ] D = \left[\begin{aligned} 0 & \quad 0 & \quad 0\\ 2 & \quad 0 & \quad 0\\ 0 & \quad 1 & \quad 0\\ \end{aligned}\right] D=⎣⎢⎡​020​001​000​⎦⎥⎤​

将 D 与 y 做乘，则得到求导后的系数：

d y d x = [ 0 8 3 ] \frac{dy}{dx} = \left[\begin{aligned} 0\\ 8\\ 3\\ \end{aligned}\right] dxdy​=⎣⎢⎡​083​⎦⎥⎤​

对应数学表达式：

f ′ ( x ) = 0 x 2 + 8 x + 3 f'(x) = 0 x^2 + 8 x + 3 f′(x)=0x2+8x+3

同理，可推导 积分矩阵 ：

D y = d y d x Dy = dydx Dy=dydx D D − 1 y = D − 1 d y d x DD^{-1}y = D^{-1}dydx DD−1y=D−1dydx D − 1 y = d y d x D^{-1}y = dydx D−1y=dydx

因此，对于式 g ( x ) = 8 x + 3 g(x) = 8 x + 3 g(x)=8x+3 ，其积分矩阵为：

则对于 g ( x ) g(x) g(x) ，积分矩阵为：

D − 1 = [ 0 0 0 2 0 0 0 1 0 ] − 1 D^{-1} = \left[\begin{aligned} 0 & \quad 0 & \quad 0\\ 2 & \quad 0 & \quad 0\\ 0 & \quad 1 & \quad 0\\ \end{aligned}\right]^{-1} D−1=⎣⎢⎡​020​001​000​⎦⎥⎤​−1

D − 1 = [ 0 0.5 0 0 0 1 0 0 0 ] D^{-1} = \left[\begin{aligned} 0 & \quad 0.5 & \quad 0\\ 0 & \quad 0 & \quad 1\\ 0 & \quad 0 & \quad 0\\ \end{aligned}\right] D−1=⎣⎢⎡​000​0.500​010​⎦⎥⎤​

将 D − 1 D^{-1} D−1 与 系数向量 做乘，则得到积分后的系数：

∫ g ( x ) d x = [ 4 3 0 ] \int g(x) dx = \left[\begin{aligned} 4\\ 3\\ 0\\ \end{aligned}\right] ∫g(x)dx=⎣⎢⎡​430​⎦⎥⎤​

对应数学表达式：

∫ g ( x ) = 4 x 2 + 3 x \int g(x) = 4 x^2 + 3 x ∫g(x)=4x2+3x

注意该不定积分没有常数项。

启发：该方法很好理解，利用了矩阵的性质，实现了系数的自动变换与落位，在计算实现时可以考虑该方法减少迭代次数，提高运算效率。但是可能只适合线性多项式。

下面是一个 matlab 的例题，我先通过求导矩阵求其求导后，在通过积分矩阵求其原式，但是不带常数项。

4th order polynomial