【吴恩达老师《机器学习》】课后习题1之【线性回归】

2024-06-09 07:14| 来源: 网络整理| 查看: 265

在学习这些内容之前，需要学习python数据分析相关内容： numpy：科学计算库，处理多维数组，进行数据分析 pandas：基于numpy的一种工具，该工具是为了解决数据分析任务而创建的 matplotlib：python的2D绘图库 matplotlib.plot：提供一个类似matlab的绘图框架见上一篇：python数据分析学习笔记之matplotlib、numpy、pandas，鄙人较菜，望多多指教，共同进步以下代码有的加注释，主要是学习过程中为了查看数据，需要的可以去掉注释，怎样都行，自己DIY

1.单变量线性回归

案例：假设你是一家餐厅的CEO，正在考虑开一家分店，根据该城市的人口数据预测其利润。拥有不同城市对应的人口数据以及利润：exercise1.py和ex1data1.txt

梯度下降实现线性回归，以最小化成本函数。创建一个以参数θ为特征函数的代价函数在这里插入图片描述以下代码为了清晰，分步骤展示的，对应名称exercise1.py为完整顺序代码，数据为ex1data1.txt

导入所需库 # 导入需要使用的包 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import pandas as pd 代价函数（损失函数）误差 # 代价函数（损失函数）误差 def computerCost(X, y, theta): # inner 每个元素都作了平方的列矩阵 inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2) return np.sum(inner) / (2 * len(X)) 批量梯度下降函数 ''' X:输入 y:输出 alpha:学习率 iters:迭代次数 ''' def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters): # 构建等值矩阵大小和theta一样(1,2) 存放参数theta[0],theta[1] temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape)) # 参数的个数此处为2 # ravel()计算需要求解的参数个数，功能将多维数组降至一维 parameters = int(theta.ravel().shape[1]) # 矩阵保存每一次迭代后的cost cost = np.zeros(iters) for i in range(iters): # 迭代次数 error = (X * theta.T) - y for j in range(parameters): # multiply 逐点相乘每个元素对应乘起来 term = np.multiply(error, X[:, j]) temp[0, j] = theta[0, j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term)) theta = temp # 更新的参数放到theta cost[i] = computerCost(X, y, theta) return theta, cost 读取数据并展示 # data.txt与本文件放在同一个文件夹下 data = pd.read_csv("ex1data1.txt", header=None, names=['Population', 'Profit']) # 数据可视化，绘制散点图kind，取值为line或scatter figsize设置大小 data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(12, 8)) # plt.show()#展示时去掉注释

原始数据所展示的散点图在这里插入图片描述

在训练集中添加一列 # 在训练集中添加一列，以便可以使用向量化的解决方案计算代价和梯度 # 在训练集的左侧插入一列全为1的列 # 以便计算即x0=1 loc为0，name为ones，value为1 data.insert(0, 'ones', 1) print(data)#查看数据

输出结果：在这里插入图片描述

分割行与列，得到需要的矩阵 # shape[1]代表列 cols = data.shape[1] # print(cols)#3 # iloc是左闭右开 X = data.iloc[:, 0:cols - 1] # X是所有行，去掉最后一列 y = data.iloc[:, cols - 1:cols] # y是所有行，只要最后一列 # print(X) #查看X # print(y)#查看y # plt.show() # 代价函数是numpy矩阵，需要转换X和y为矩阵，然后才能使用它们。 # 还需要初始化theta，即把theta的所有元素都设置为0 X = np.matrix(X.values) y = np.matrix(y.values) # theta是一个(1,2)矩阵 theta初始值为0 theta = np.matrix(np.array([0, 0])) # 分别查看X、y，theta的维度 # print(X.shape,y.shape,theta.shape)#(97, 2) (97, 1) (1, 2) # 计算代价函数 theta初始值为0 costs = computerCost(X, y, theta) print('计算代价函数 theta初始值为0：', costs)

计算代价函数 theta初始值为0： 32.072733877455676

初始化一些变量 # 初始化一些附加变量，学习率和要执行的迭代次数 alpha = 0.01#学习率 iters = 1000#迭代次数运用梯度下降函数将参数theta应用于训练集 g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters) print(g) 使用拟合的参数计算训练模型的代价函数（误差） costs = computerCost(X, y, g) print('使用拟合的参数计算训练模型的代价函数（误差）:', costs) 绘图之拟合函数 # 绘制线性模型以及数据，直观看出它的拟合，fig代表整个图像，ax代表实例 x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100) # 抽100个样本 f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x) # g[0,0]代表theta0,g[0,1]代表theta1 fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8)) # 绘制折线图 ax.plot(x, f, 'r', label="Prediction") # 绘制散点图 ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Training data') ax.legend(loc=4)#显示标签位置 ax.set_xlabel('Population') ax.set_ylabel('Profit') ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size') plt.show()

结果展示：在这里插入图片描述

绘图之梯度下降图展示（学习曲线） #由于梯度方程式函数在每个训练迭代中输出一个代价的向量，也可以绘制 fig, ax1 = plt.subplots(figsize=(12, 8)) ax1.plot(np.arange(iters),cost,'r') ax1.set_xlabel('Iterations') ax1.set_ylabel('Cost') ax1.set_title('Error vs. Training Epoch') plt.show()

在这里插入图片描述

多变量线性回归

案例：假设你现在打算卖房子，想知道房子多少钱我们拥有房子面积和卧室数量以及房子价格之间的对应数据：exercise1_plus.py和ex1data2.txt

导入所需库 # 导入需要使用的包 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import pandas as pd 代价函数（损失函数）误差 # 代价函数（损失函数）误差 def computerCost(X, y, theta): # inner 每个元素都作了平方的列矩阵 inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2) return np.sum(inner) / (2 * len(X)) 批量梯度下降函数 ''' X:输入 y:输出 alpha:学习率 iters:迭代次数 ''' def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters): # 构建等值矩阵大小和theta一样(1,2) 存放参数theta[0],theta[1] temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape)) # 参数的个数此处为2 # ravel()计算需要求解的参数个数，功能将多维数组降至一维 parameters = int(theta.ravel().shape[1]) # 矩阵保存每一次迭代后的cost cost = np.zeros(iters) for i in range(iters): # 迭代次数 error = (X * theta.T) - y for j in range(parameters): # multiply 逐点相乘每个元素对应乘起来 term = np.multiply(error, X[:, j]) temp[0, j] = theta[0, j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term)) theta = temp # 更新的参数放到theta cost[i] = computerCost(X, y, theta) return theta, cost 读取数据并展示 #读取数据 data2 = pd.read_csv('ex1data2.txt', header=None, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price']) # print(data2)#查看数据数据预处理：特征归一化

消除特征值之间的量纲影响，个特征值处于同一数量级提升模型的收敛速度与精度

''' 预处理步骤：特征归一化对于此任务，添加一个预处理步骤，特征归一化若房子价格不归一化，它的数量级和输入值归一化数量级差别太大几十万的数量级和个位小数做回归就不能保证收敛了预测的y和实际y几十万差的太多了 ''' # 每个数据 = (每个数据 - 均值)➗方差 data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std() 在训练集中添加一列 # 添加全为1的一列 data2.insert(0, 'ones', 1) 分割行与列，得到需要的矩阵 # shape[1]代表列 cols = data2.shape[1] X2 = data2.iloc[:, 0:cols - 1] # X2是所有行，去掉最后一列，即保留前三列 y2 = data2.iloc[:, cols - 1:cols] # y2是所有行，只要最后一列列矩阵 # 代价函数是numpy矩阵，需要转换X2和y2为矩阵，然后才能使用它们。 X2 = np.matrix(X2.values) y2 = np.matrix(y2.values) # 还需要初始化theta，即把theta的所有元素都设置为0 theta2 = np.matrix(np.array([0, 0, 0])) 初始化一些变量 #不同alpha(学习率)下的效果 alphas = [0.0003,0.003,0.03,0.0001,0.001,0.01] # 要执行的迭代次数 iters = 2000 绘图 # 开始绘图 fig, ax = plt.subplots() for alpha in alphas: _, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters) ax.plot(np.arange(iters), cost2, label=alpha) ax.legend() ax.set(xlabel='iters', ylabel='cost', title='cost vs iters') # 由于梯度方程式函数在每个训练迭代中输出一个代价的向量，也可以绘制 fig, ax1 = plt.subplots(figsize=(12, 8)) ax1.plot(np.arange(iters), cost2, 'r') ax1.set_xlabel('Iterations') ax1.set_ylabel('Cost') ax1.set_title('Error vs. Training Epoch') plt.show()

迭代过程中代价的变化在这里插入图片描述不同alpha(学习率)下的效果

在这里插入图片描述

正规方程

对应于Zhenggui.py 在这里插入图片描述若不可逆了，一般要考虑以下两者情况

移除冗余特征。一些特征存在线性依赖特征太多，要删除一些特征。比如（m

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