7.2复数的四则运算 教案

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复数的四则运算【教学目标】1．知识与技能理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念。2．过程与方法理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图。3．情感、态度与价值观利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的。通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。【教学重难点】重点：复数代数形式的乘除法运算。难点：复数除法法则的运用。【教学建议】建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完成本节教学：（1）类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则。（2）归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则。（3）合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点。【教学过程】创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算。?让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律。引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练。由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现in运算的周期性，及其应用方法。完成互动探究。完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法。并进行反馈矫正。归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法。学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导。通过易错辨析纠正运算中出现的错误。?让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法。老师组织解法展示，引导学生总结解题规律。课标解读 1．掌握复数代数形式的乘、除运算。（重点）2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。（难点）3．理解共轭复数的概念。（易错点）知识1 复数的乘法问题导思：1．如何规定两个复数相乘？提示：两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可。2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？提示：满足。（1）设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i。（2）对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律 z1·z2＝z2·z1结合律 （z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3知识2 复数的除法与共轭复数问题导思：如何规定两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，c＋di≠0）相除？提示：＝＝＝。（1）z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d为实数，c＋di≠0），z1，z2进行除法运算时，通常先把（a＋bi）÷（c＋di）写成的形式再把分子与分母都乘以c－di化简后可得结果：＋i。（2）共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示。即z＝a＋bi，则＝a－bi。虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数。知识1 复数代数形式的乘除法运算例1：（1）（2013·课标全国卷Ⅱ）设复数z满足（1－i）·z＝2i，则z＝（　　）A．－1＋i　　B．－1－i　　C．1＋i　　D．1－i（2）（2013·大纲全国卷）（1＋i）3＝（　　）A．－8 B．8 C．－8i D．8i（3）计算（）6＋＝________。思路探究：（1）先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值。（2）直接利用复数的乘法运算法则计算。（3）先计算再乘方，且将的分母实数化后再合并。自主解答：（1）设z＝a＋bi，则（1－i）（a＋bi）＝2i，即（a＋b）＋（b－a）i＝2i。根据复数相等的充要条件得解得∴z＝－1＋i。故选A．（2）原式＝（1＋i）（1＋i）2＝（1＋i）（－2＋2i）＝－2＋6i2＝－8．（3）法一：原式＝6＋＝i6＋＝－1＋i。法二　原式＝6＋＝i6＋＝－1＋i。答案：（1）A （2）A （3）－1＋i规律方法1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a＋bi（a，b∈R）的形式。2．记住以下结论可以提高运算速度（1）（1＋i）2＝2i，（1－i）2＝－2i；（2）＝－i，＝i；（3）＝－i。变式训练计算：（1）（1－i）2；（2）（－＋i）（＋i）（1＋i）；（3）。解：（1）（1－i）2＝1－2i＋i2＝－2i。（2）（－＋i）（＋i）（1＋i）＝（－－i＋i＋i2）（1＋i）＝（－＋i－）（1＋i）＝（－＋i）（1＋i）＝－－i＋i－＝－＋i。（3）＝＝＝＋i。知识2 虚数单位i的幂的周期性及其应用例2： （1）计算：＋（）2 013；（2）若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值。思路探究：将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解。自主解答：（1）原式＝＋[（）2]1 006·（）＝i＋（）1 006·＝i＋i1 006·＝－＋i（2）1＋z＋z2＋…＋z2 013＝，而z＝＝＝＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2 013＝＝＝1＋i。规律方法1．要熟记in的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值。2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解。互动探究在本例（2）中若z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值。解：由题意知1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1＋i＋i2＋…＋i2 013＝＝＝＝1＋i。∴原式＝1＋i。知识3 共轭复数的应用例3：设z1，z2∈C，A＝z1·＋z2·，B＝z1·＋z2·，问A与B是否可以比较大小？为什么？思路探究：设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论自主解答：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则＝a－bi，＝c－di，∴A＝z1·＋z2·＝（a＋bi）（c－di）＋（c＋di）（a－bi）＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2＝2ac＋2bd∈R，B＝z1·＋z2·＝|z1|2＋|z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，∴A与B可以比较大小。规律方法1．z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质。2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数。3．若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数。变式训练已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z。解：设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi（a，b∈R），由题意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有，解得或，所以z＝－1或z＝－1＋3i。典例：设复数z满足＝i，则z＝（ ）A．－2＋I B．－2－iC．2－i D．2＋i错解：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）满足＝i，所以1＋2i＝ai＋B．解得所以z＝2＋i，故选D项。答案：D错因分析：将i2＝－1当成i2＝1来运算漏掉负号。防范措施：在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重要结论的灵活应用。正解：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）满足＝i，所以1＋2i＝ai－B．解得所以z＝2－i，故选C项。答案：C课堂小结1．复数代数形式的乘除运算（1）复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。（2）在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化。2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题。3．复数问题实数化思想。复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi（a，b∈R），利用复数相等的充要条件转化。当堂双基达标1．（2012·北京高考）在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）A．（1，3） B．（3，1）C．（－1，3） D．（3，－1）解析：＝＝＝1＋3i，∴其对应点的坐标为（1，3），选A．答案：A2．（2013·安徽高考）设i是虚数单位，若复数a－（a∈R）是纯虚数，则a的值为（　　）A．－3 B．－1C．1 D．3解析：因为a－＝a－＝a－＝（a－3）－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3．答案：D3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________。解析：由题意得：∴答案：－1、14．计算：（1）（1－i）（－＋i）（1＋i）；（2）；（3）（2－i）2．解：（1）法一：（1－i）（－＋i）（1＋i）＝（－＋i＋i－i2）（1＋i）＝（＋i）（1＋i）＝＋i＋i＋i2＝－1＋i。法二：原式＝（1－i）（1＋i）（－＋i）＝（1－i2）（－＋i）＝2（－＋i）＝－1＋i。（2）＝＝＝＝＝i。（3）（2－i）2＝（2－i）（2－i）＝4－4i＋i2＝3－4i。课后知能训练一、选择题1．复数（2＋i）2等于（ ）A．3＋4i B．5＋4iC．3＋2i D．5＋2i解析：（2＋i）2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i。故选A．答案：A2．i是虚数单位，复数＝（ ）A．1－i B．－1＋iC．1＋i D．－1－i解析：＝＝＝1＋i。答案：C3．若复数z满足（3－4i）z＝|4＋3i|，则z的虚部为（ ）A．－4 B．－C．4 D．解析：∵（3－4i）z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，∴z的虚部为。答案：D4．若z＋＝6，z·＝10，则z＝（　　）A．1±3i B．3±iC．3＋i D．3－i解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，∴，解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i。答案：B5．（2013·湖北高考）在复平面内，复数z＝（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（　　）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：z＝＝＝1＋i，所以＝1－i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限。答案：D二、填空题6．（2013·江苏高考）设z＝（2－i）2（i为虚数单位），则复数z的模为________。解析：z＝（2－i）2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5．答案：57．若＝a＋bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a＋b＝________。解析：＝＝[（3－b）＋（3＋b）i]＝＋i。∴解得∴a＋b＝3．答案：38．当z＝－时，z2 012＋z2 014＝________。解析：z＝－，∴z2＝＝－i，∴z2 012＝（－i）2 012＝1，z2 014＝（－i）2 014＝－1，∴z2 012＋z2 014＝1－1＝0.答案：0三、解答题9．计算下列各题：（1）＋－；（2）（＋i）5＋（）4＋（）7；（3）（－－i）12＋（）8．解：（1）原式＝[（1＋i）2]3＋[（1－i）2]3·－＝（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－＝8＋8－16－16i＝－16i。（2）（＋i）5＋（）4＋（）7＝－i·（）5·[（1＋i）2]2·（1＋i）＋[]2＋i7＝16（－1＋i）－－i＝－（16＋）＋（16－1）i。（3）（－－i）12＋（）8＝（－i）12·（－－i）12＋（）8＝（－＋i）12＋＝[（－＋i）3]4＋（－8＋8i）＝1－8＋8i＝－7＋8i。10.复数z＝，若z2＋解：z＝＝1－i，∵a为纯虚数，设a＝mi（m∈R，m≠0），则z2＋＝（1－i）2＋＝－2i＋＝－＋（－2）i，∴m＝4，∴a＝4i。11．定义运算＝ad－bc，则满足＝0的复数z所对应的点在第几象限？解：结合＝ad－bc可知＝z（1＋i）－（1－i）（1＋2i）＝0，∴z＝＝＝2－i，∴复数z所对应的点在第四象限。备选例题已知z1、z2∈C，z1＋2z2∈R，且＋＝1，求证：z2－3z1为纯虚数。思路探究：由题目条件推出（z2－3z1）2，再证明其小于0即可。自主解答：∵＋＝1，∴10z＋5z＝2z1·z2，即z＋4z＋4z1·z2＝－9z－z＋6z1·z2，也即－（z1＋2z2）2＝（3z1－z2）2．∵z1＋2z2∈R，z1≠0，z2≠0，∴－（z1＋2z2）2∴（3z1－z2）2∴（3z1－z2）2为负实数，∴z2－3z1为纯虚数。规律方法1．证明z为纯虚数的方法：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），证明a＝0且b≠0；（2）z2（3）z≠0，且z＋＝0 为纯虚数。2．证明z∈R的方法：（1）设z＝a＋bi（a、b∈R），证明b＝0；（2）z∈R z＝；（3）z∈R z2≥0；（4）z∈R |z|2＝z2．备选变式设z＝a＋bi（a、b∈R），若∈R，则a、b应满足什么条件？并说明理由。解：＝＝＝∈R，∴b（a2＋b2－1）＝0，∴b＝0或a2＋b2＝1．小结复数的概念复数相等的充要条件复数与复数分类共轭复数复数的模复数的运算：复数的减法法则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d＝|z1－z2|复数的加法法则（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i复数加法的几何意义复数的乘法法则（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i复数的除法法则＝＋i（c＋di≠0）12 / 15

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