复数基础知识 | 您所在的位置:网站首页 › 复数除法的一般计算公式 › 复数基础知识 |
复数基础知识
0:前言
此为FFT基础知识 我们以前都学过,如果一个数要开平方的话,一定要保证被开平方的数是一个正数,但是为了扩充数域,引入复数概念。 规定\(\sqrt{-1}=i\)。 1:复数的概念形如\(z=x+iy\)的数就是一个复数,其中\(x\)和\(y\)是任意的实数,分别称为复数\(z\)的实部和虚部。 一般来说,复数不能比大小,但是可以说两个复数相等。 2:复数的代数运算加减就对应实部虚部相加就行了。 乘法和除法需要稍加注意。 乘法: \[z_1z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i \]除法: \[\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{(x_2+y_2i)(x_2-y_2i)}=\frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{x_2^2+y_2^2} \]之后对上面做乘法就行,也就是说复数的除法要将分母实化。 同样复数满足交换律、结合律、分配律。 3:复数的几何表示任意一个复数\(z=x+y_i\)都有一个与之对应的二维平面点对\((x,y)\)。 如图所示: 其中 \(|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}\),表示这个向量的模或长度。 \(\theta=arctan\frac{y}{x}\)表示向量所对应的幅角。 特殊的,当\(z=0\)时,幅角不确定。 也可以知道\(x=rcos\theta,y=rsin\theta\)。接着我们可以得到复数的另一种表示: \[z=x+yi=rcos\theta+irsin\theta=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta} \]即\(z=re^{i\theta}\). 其中\(e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\)就是大名鼎鼎的欧拉\((Euler)\)公式。(\(e\)是自然对数) 值得注意的一点!! 我们说\(\theta\)表示复数\(z\)的幅角,但其实幅角的表示可以不唯一。 比如说我从\(\theta\)的位置正好逆时针旋转一圈后变成\(\theta+2\pi\),他还是在那个位置,但是他不等于\(\theta\)。 所以说幅角可以表示为\(\theta+2k\pi\),其中\(k\)取任意整数。 既然有很多个幅角,我们可以定义一个幅角主值,也就是我们最开始的那个\(\theta\),不去加\(2k\pi\)。 但是比如说\(\frac{\pi}{2}\)(逆时针扫),他同样可以用\(-\frac{3\pi}{2}\)(顺时针扫)来表示。 我们规定在\(x\)轴上方的用逆时针扫的角度,\(x\)轴下方用顺时针扫的角度。 仔细理解这点,后面对复数开根号需要用到。 4:复数的幂与方根 1:复数的积与商设有两个复数\(z_1=r_1e^{i\theta_1},z_2=r_2e^{i\theta_2}\)。 \[z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)} \]\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}*e^{i(\theta_1-\theta_2)} \]所以可以得到以下两个定理: 两个复数乘积的模等于他们模的乘积;两个复数乘积的幅角等于他们幅角的和。 两个复数商的模等于他们模的商;两个复数商的幅角等于他们幅角的差。 2:复数的幂与方根 幂首先引入一个公式: \[(cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta \]这就是棣莫弗\((De\ Moivre)\)公式。 \(z^n\)就是\(n\)个\(z\)乘起来,所以有: \[z^n=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta) \]方根(重点)要求复数\(z\)的\(n\)次方根,实际上就是求解方程\(w^n=z\),问\(w\)。 设 \[z=re^{i\theta},w=\rho e^{i\varphi} \]从而得到方程 \[\rho ^n=r\\n\varphi=\theta+2k\pi \]解得: \[\rho=\sqrt[n]{r}\\\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n} \]所以: \[w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\frac{2k\pi+\theta}{n})} \]当\(k=0,1,2,...,n-1\)时,可以得到\(n\)个相异的根: \[w_0=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}},w_1=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2\pi}{n}},w_2=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+4\pi}{n}},...,w_{n-1}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}} \]为什么只有\(n\)个呢?因为\(k\)取别的整数的话,所得到的根就和上述的\(n\)个根重复了。 由复数的几何意义可知,最后这\(n\)个根就表示他们以原点为圆心,以\(\sqrt[n]{r}\)为半径在一个圆上均匀分布着。 就像这样: 这里表示有四个根, 蓝线的四个头。 来做个例题收尾吧 求\(\sqrt[4]{1+i}\): \[\because1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\\\therefore \sqrt[4]{1+i}=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4}},k=0,1,2,3 \]有: \[w_0=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{\pi}{16}},w_1=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{9\pi}{16}},w_2=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{17\pi}{16}},w_3=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{25\pi}{16}} \]这四个根表示以原点为圆心,以\(\sqrt[8]{2}\)为半径的圆内接正方形的四个顶点。 |
CopyRight 2018-2019 实验室设备网 版权所有 |