复变函数：复数基本知识、欧拉公式、复变函数的导数、解析函数

实变函数（高等数学）主要内容：

复变函数：

对任意两实数x, y，称 z = x + i y z=x+iy z=x+iy 或 z = x + y i z=x+yi z=x+yi 为复数，其中 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1 ， i i i 称为虚部

复数 z z z 的实部 R e ( z ) = x Re(z)=x Re(z)=x，虚部 I m ( z ) = y Im(z)=y Im(z)=y

复数的模： ∣ z ∣ = x 2 + y 2 ≥ 0 |z|=\sqrt{x^2+y^2}\ge0 ∣z∣=x2+y2 ​≥0

复数相等： z 1 = z 2    ⟺    x 1 = x 2 , y 1 = y 2 z_1=z_2 \iff x_1=x_2,y_1=y_2 z1​=z2​⟺x1​=x2​,y1​=y2​，其中 z 1 = x 1 + i y 1 , z 2 = x 2 + i y 2 z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2 z1​=x1​+iy1​,z2​=x2​+iy2​

z = 0    ⟺    R e ( z ) = I m ( z ) = 0 z=0\iff Re(z)=Im(z)=0 z=0⟺Re(z)=Im(z)=0

一般两个复数不能比较大小。

共轭复数：若 z = x + i y z=x+iy z=x+iy，称 z ‾ = x − i y \overline{z}=x-iy z=x−iy 为 z z z 的共轭复数。

z = x + i y    ⟺    z=x+iy \iff z=x+iy⟺ 复平面上的点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)

复平面上横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴。

z = x + i y    ⟺    O P → = { x , y } z=x+iy\iff \overrightarrow{OP}=\{x,y\} z=x+iy⟺OP ={x,y}

此时我们用向量 O P → \overrightarrow{OP} OP 来表示 z = x + i y z=x+iy z=x+iy。复数的模是向量的长度 ∣ z ∣ = ∣ O P → ∣ = x 2 + y 2 |z|=|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+y^2} ∣z∣=∣OP ∣=x2+y2 ​。而复数的幅角指向量与正实轴之间的夹角 θ = A r g z = ( O P → , x ) \theta=Arg_z=(\overrightarrow{OP},x) θ=Argz​=(OP ,x)（ t a n ( A r g z ) = y x tan(Argz)={y\over x} tan(Argz)=xy​），注意当z=0时，幅角无意义，且幅角是无穷多的： A r g z = θ = θ 0 + 2 k π Arg_z=\theta=\theta_0+2k\pi Argz​=θ=θ0​+2kπ，其中满足 − π < θ 0 < π -\pi