复数的模与幅角（一）

2023-06-02 11:51| 来源: 网络整理| 查看: 265

关于复数的模的概念,在第一章中已有定义在复数的三角形式表示中,出现了复数的辐角的概念.有关复数辐角的问题是近年高中数学竞赛的热点问题之一下面给出复数辐角的定义和一些性质.

设复数 $z=a+b\mathrm{i}\left(ab\in \mathbb{R}\right)$ 所对应的向量为 $\overrightarrow{OZ}$ ,我们称始边是 $x$ 轴正半轴,终边是 $\overrightarrow{OZ}$ 的角称为复数 $z$ 的辐角,记为 $\mathrm{Arg} z$ .在 $\left[0,2\pi \right)$ 内的辐角叫做复数 $z$ 的辐角主值,记为 $\arg z$ .且有

$\mathrm{Arg} z=\arg z+2k\pi \left(k\in \right)$ .

当 $a\in \mathbb{R}^{+}$ 时,有 $\arg a=0,\arg \left(-a\right)=\pi,$

$\arg \left(ai\right)=\dfrac{\pi}{2},\arg \left(-ai\right)=\dfrac{3\pi}{2}.$

0的辐角是任意的.

非零复数与它的模和辐角主值构成一一对应关系.两个非零复数相等,当且仅当它们的模与幅角主值分别相等.

关于复数辐角的运算,有如下结论:

$\mathrm{Arg} \left(z_{1}z_{2}\right)=\mathrm{Arg} \left(z_{1}\right)+\mathrm{Arg} \left(z_{2}\right),$

$\mathrm{Arg} \left(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\mathrm{Arg} \left(z_{1}\right)-\mathrm{Arg} \left(z_{2}\right)\left(z_{2}\ne 0\right),$

$\mathrm{Arg} \left(z^{n}\right)=n\mathrm{Arg} \left(n\in \mathbb{Z} \right).$

若复数 $z=a+b\mathrm{i},\left(a,b\in \mathbb{R},ab\ne 0\right)$ ,则

$\arg z=\left\{\begin{array}{l} \arctan \dfrac{b}{a}, \quad \text { 点 }\left(a, b\right) \text { 在第 I 象限 } \\ \pi+\arctan \dfrac{b}{a}, \text { 点 }\left(a, b\right) \text { 在第 II 、 III 象限 } \\ 2 \pi+\arctan \dfrac{b}{a} \text {. 点 }\left(a, b\right) \text { 在第 IV 象限 } \end{array}\right.$

有了上述准备工作,我们可以定义复数的三角形式:

设复数 $z=a+b\mathrm{i}\left(ab\in \mathbb{R}\right)$ 的模等于 $r$ ,辐角等于 $\theta$ ,则称 $z=r\left(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta \right)$ 为复数 $z=a+b\mathrm{i}\left(ab\in \mathbb{R}\right)$ 的三角形式.

以下介绍复数在三角形式下的乘法、乘方、除法、开方等运算的法则.

一、复数的乘法与乘方

若 $z_{1}=r_{1}\left(\cos \theta_{1}+\mathrm{i}\sin \theta_{1}\right)$ , $z_{2}=r_{2}\left(\cos \theta_{2}+\mathrm{i}\sin \theta_{2}\right)$ ,则

$z_{1}z_{2}=r_{1}\left(\cos \theta _{1}+\mathrm{i}\sin \theta _{1}\right)\cdot r_{2}\left(\cos \theta _{2}+\mathrm{i}\sin \theta _{2}\right)=r_{1}r_{2}\left[\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)\right].$

两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.

若 $z=r\left(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta \right),n\in \mathbb{N} ^{*}$ ,则 $z^{n}=\left[r\left(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta \right)\right]^{n}=r^{n}\left(\cos n\theta +\mathrm{i}\sin n\theta \right).$

复数 $n$ 次幂的模等于这个复数模的 $n$ 次幂,它的辐角等于这个复数辐角的 $n$ 倍,这个定理叫做棣莫佛定理(Abraham de Moivre,1667-1754年).

二、复数的除法

若 $z_{1}=r_{1}\left(\cos \theta_{1}+\mathrm{i}\sin \theta_{1}\right)$ , $z_{2}=r_{2}\left(\cos \theta_{2}+\mathrm{i}\sin \theta_{2}\right)$ ,则

$\begin{aligned} \dfrac{z_{1}}{z_{2}}&=\dfrac{r_{1}\left(\cos \theta_{1}+\mathrm{i}\sin \theta_{1}\right)}{r_{2}\left(\cos \theta_{2}+\mathrm{i}\sin \theta_{2}\right)}\\&=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\left[\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right]. \end{aligned}$

两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角.

三、复数的开方

复数 $r\left(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta \right)$ 的 $n\left(n\in \mathbb{N} ^{*}\right)$ 次方根是

$\sqrt[n]{r}\left(\cos \dfrac{\theta +2k\pi}{n}+\mathrm{i}\sin \dfrac{\theta +2k\pi}{n}\right)\left(k=0,1,\cdots ,n-1\right).$

复数的 $n$ 次方根是 $n$ 个复数,它们的模都等于这个复数的模的 $n$ 次算术根,它们的辐角分别等于这个复数的辐角与 $2\pi$ 的 $0,1,\cdots,n-1$ 倍的和的 $n$ 分之一.

由此可知,方程 $x^{n}=b\left(b\in \mathbb{C} \right)$ 的根的几何意义是复平面内的 $n$ 个点,这些点均匀分布在以原点为圆心、以 $\sqrt[n]{|b|}$ 为半径的圆周上.

四、辐角的三角函数设复数 $z=\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta =e^{\mathrm{i}\theta}$ ,则

$\cos n\theta =\Re \left(z^n\right)=\dfrac{z^{2n}+1}{2z^n};$

$\sin n\theta =\Im \left(z^n\right)=\dfrac{z^{2n}-1}{2z^n\mathrm{i}};$

$\tan n\theta=\dfrac{\Im \left(z^n\right)}{\Re \left(z^n\right)}=\dfrac{z^{2n}-1}{\left(z^{2n}+1\right)\mathrm{i}}.$

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