（四）2.自动控制原理 The Root Locus Method 绘制根轨迹的八条法则

我们上节课了解了根轨迹是什么东西，学到了怎么去判断一个点是不是根轨迹上的点 但怎么去画根轨迹没有提及，这次我们说说绘制根轨迹的法则

法则一：起点终点

说的玄乎，实际上起点就是 k’ = 0的时候，终点就是 k’ = ∞的时候

证明： 前面提过的根轨迹上点的模值条件：|开环传递函数| = 1 = k’ ×（∏ x-开环零点/∏ x-开环极点）

==》k’ = ∏(x - 开环极点)/∏(x - 开环零点) = s(n-m) * ∏(1 - 开环极点/s)/∏(1 - 开环零点/s)

k’ = 0 ====》 x = 开环极点 k’ = ∞ ====》x = 开环零点 or x = ∞

从而，我们得到，根轨迹的起点都是开环极点，终点是开环零点或者无穷远处

法则二：根轨迹分支数，对称性和连续性

法则三，实轴上的根轨迹

证明： 对于这样一个一般情况的图，我们去分析 思路：在某一段线上取一个点，通过前面的方法去判断这个点在不在根轨迹上来看这个线段是不是根轨迹

证：就像图中画得那样，我们可以看到零点极点如果不是在实轴上，那必然是一堆共轭复根，对于共轭复根，我们根据相角原理，s-p，s-z，发现，每一对共额府根的相角和为360度，这个就告诉了我们，共轭复根对于在实轴上的点的判断是没有影响的，关键还是在于看实轴上的点对于该点的影响。

假设我们取一个点，其右边一共有极点零点 x个，左边的点若干 由于左边的点指向我们待测点相角为0，显然也是不影响的 右边的每个点到待测点相角为180度，x个点，如果x是奇数，那一定是（2k+1）pai，表明成立，否则不成立，如图所示，画出红线的部分显然就是根轨迹的部分

法则四：根之和

证明思路： 由代数定理 对于(s-a1)(s-a2)(s-a3)…(s-an) = sn +x n-1 sn-1 +…+x0 a1+a2+…+an = - x n-1 （n-1是下标）这里我们不多说这个定理，不相信的同学代值算算就能看出点门道来，数学归纳法也许可以证？

下面对这个法则进行证明： 首先 对于开环传递函数，其特征式为开环的分母， 利用上面的定理，得到开环的极点之和为常数 a(n-1) 。a(n-1是给定值) 矛头指向闭环传递函数，他的特征式为开环传递函数的分子加上分母. 由于限制条件n-m