在线计算器: 复数介绍

从16世纪开始，数学家们面临着特殊数的必要性，也就是今天所说的复数。复数是a +bi形式的数，其中a,b 是实数部分，i 虚数单位是方程 i2=-1的解。 追溯数学家对复数问题看法的演变过程非常有趣。在此引述一些关于这个话题的古代著作:

它在复数定义中有多种用法。我们将展示其中的三个

, 其中 a and b - 实数, i - 虚数单位, 因此 i2=-1. a - 对应实数部分, b - 虚数部分。

, 其中 r - 复数的绝对值: 为复平面上点0到复点的距离，φ为正实轴与复矢量之间的夹角(辐角)。

是由欧拉公式导出的极坐标形式的简化式。

复数的辐角是多值函数, 其中k 为整数。 辐角主值是开放区间上的单一值 (-π..π]。 主值可用以下公式由代数形式计算: 这种算法是在javascript的Math.atan2函数中实现的。

下面的示例定义了复数的所有初等算术运算:

一个复数可以像多项式一样和另一个复数相加:

使用复数定义i*i=-1，我们可以很容易地解释复数乘法公式:

为了推导出复数除法公式，我们将分子和分母同时乘以复数的共轭复数(消除分母中的虚数单位): 共轭复数被定义为: 所以最终的除法公式是:

使用欧拉形式: 这个公式是由德·莫弗尔公式推导出来的:

由德·莫弗尔公式, 复数z (1/n的幂) 的n次根由下式给出: , 有n个根, 其中 k = 0..n-1 —一个根的整数指数。根可以在复平面上显示为常规多边形的顶点。

卡达诺:《伟大的艺术或代数规则》, (1539) ↩

莱布尼茨(根据维基百科) ↩

欧拉:《通用算术》 (1768) § 142-143 ↩

卡诺:《关于无限小分析的形而上学原则的反思》(1797)，104页，布劳内尔译 ↩