复数与相位(旋转)

在信号与系统中，我们经常会遇到对于一个信号 s(t)=cos(ωt+θ) ，乘上一个复数 ejϕ ，即 s(t)∗ejϕ 表示对原信号 s(t) 移动相位 ϕ 。 那么如何理解乘上一个 ejϕ 可以表示相位的移动呢？

这里需要用到欧拉公式，具体可以参看我另外一篇博文：欧拉公式

更进一步，我们在几何上解释一下复数与相位(旋转)的关系。 如下图所示，横坐标为实部，纵坐标为虚部，有两个单位向量 a,b ，其中 a=ejθ ，那么向量 b 该如何表示呢？ 由欧拉公式ejθ=cos(θ)+jsin(θ)，则 a 可以表示为(cos(θ), sin(θ))，这个我们从图中也可以很轻松的得到。由图中的角度关系，我们可以得到 b=(cos(θ+ϕ), sin(θ+ϕ)) ，写成复数形式，即 b=ejθejϕ=ej(θ+ϕ) 。可以很明显的看到，对向量 a 乘上一个ejϕ表示将 a 旋转角度ϕ，即相位移动 ϕ 。