解析函数的孤立奇点/无穷远点

复变函数中，无穷远点一定是解析函数的奇点，在扩充复平面 C ∞ {\displaystyle \C_\infty} 上，考虑一个定义在无界区域（全扩充复平面、半平面等）上的解析函数在无穷远点的性质，可以在一定情形下将洛朗展式推广到无穷远点处。

对于无界区域上有定义的一个解析函数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} ，我们关心的 ∞ {\displaystyle \infty} 是 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的奇点的情形，是指 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的任意一个 ∞ {\displaystyle \infty} 的 ε {\displaystyle \varepsilon} 邻域： | z | > 1 ε {\displaystyle |z| > \dfrac{1}{\varepsilon}} 中，总有 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的解析点。

如果一个 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 至少有一列发散到无穷的复数列 z n {\displaystyle z_n} ，这列复数中每个都是 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的奇点，我们就说 ∞ {\displaystyle \infty} 是非孤立奇点，反之则称 ∞ {\displaystyle \infty} 是孤立奇点，孤立奇点的概念等价于：任意一个 ∞ {\displaystyle \infty} 的 ε {\displaystyle \varepsilon} 邻域： 1 ε {\displaystyle \infty} 外均是 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的解析点。

实际上， ∞ {\displaystyle \infty} 是 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的孤立奇点，等价于 w = 0 {\displaystyle w=0} 是 g ( w ) = f ( 1 w ) {\displaystyle g(w) = f(\frac{1}{w})} 的孤立奇点。这样我们就可以通过变量代换，将对无穷远点的研究归结于对有限点的研究。

g ( w ) {\displaystyle g(w)} 在圆环 0 n = − ∞ + ∞ d n w n = ∑ n = 0 ∞ d n w n + ∑ n = 1 ∞ d − n w − n , 0 ) . {\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} d_n w^n = \sum_{n=0}^{\infty} d_n w^n + \sum_{n=1}^{\infty} d_{-n} w^{-n}, 0 ∞ + ∞ c n 1 z n = ∑ n = 0 ∞ d − n z − n + ∑ n = 1 ∞ d n z n , 1 ε ∗ ) . {\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \dfrac{1}{z^n} = \sum_{n=0}^{\infty} d_{-n} z^{-n} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n z^n, \dfrac{1}{\varepsilon} < |z| < +\infty \quad (**).} 以上称作 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 在孤立奇点附近的圆环区域 1 ε 0 g ( w ) {\displaystyle \lim_{w \to 0} g(w)} 和 lim z → ∞ f ( z ) {\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z)} 要么同时收敛到相同值、要么同时发散到无穷、要么同时都不存在。因此 g ( w ) {\displaystyle g(w)} 在 w = 0 {\displaystyle w=0} 和 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 在 z = ∞ {\displaystyle z=\infty} 处的奇点类型是一致的。因此三种孤立奇点的定义可以推广到无穷远点。

在 ∞ {\displaystyle \infty} 点的去心邻域中有洛朗展式 ( ∗ ∗ ) {\displaystyle (**)} ，并且若设 ∞ {\displaystyle \infty} 是 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的孤立奇点，以下几款等价：

此外，极限 lim z → ∞ f ( z ) = d 0 {\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = d_0} 。其中， d 0 {\displaystyle d_0} 是洛朗展式中 n = 0 {\displaystyle n=0} 的那一项洛朗系数，因此在点 ∞ {\displaystyle \infty} 处补充定义 f ( ∞ ) = d 0 {\displaystyle f(\infty)=d_0} 后，函数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 在 ∞ {\displaystyle \infty} 处就成为了解析函数。

若设 ∞ {\displaystyle \infty} 是 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的孤立奇点，以下几款等价：

更加精细地，我们还可以定义极点的阶，它可以由上述定价命题中的第三条对零点的阶实现，若设 ∞ {\displaystyle \infty} 是 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的孤立奇点，我们给出如下三款等价定义：

若设 ∞ {\displaystyle \infty} 是 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的孤立奇点，以下四款等价：