复变函数与高维空间

维度的概念在数学领域和物理领域是不同的，在数学领域，维度指的是独立变量的数目，例如，三维迪卡尔坐标系由x,y,z三个独立的方向度量，也就是三组基，三个基可以表示出整个三维空间，但是基彼此又不能互相表示．在三维的基础上，还可以继续添加独立变量，所以四维乃至无限维便产生了．物理中的维度是指独立的时空坐标的数目，和时空性质有关．描述一元复变函数需要四个维度，非常遗憾的是，人眼看不到四维世界，就像一维的植物向一个方向生长，二维的蚂蚁看不到有高度的障碍物一样，我们生活的三维空间上只能看到复变函数在三维空间的投影，因此人眼无法看到复变函数的图像，因为你的眼睛看不到超过三维的东西。

在直线宇宙中，想象不会有几何意义，因为宇宙只有一维，不会有面积

在平面宇宙中，想象也不会有几何意义，宇宙是个平面，没有体积.

在我们的三维世界中，没有对应实体，宇宙是立体的，第四维是什么？物理学家认为是时间，数学家认为是任何一个独立维度，天知道?

所以，在中，如果,把想象成一个物理对象并非易事，同样的道理，可以看成一个平面（复平面，向量平面），但是对于,人类的大脑不能产生的完整形象，不过，即便,我们仍然可以在进行代数运算，就像在线性代数中同样容易。

由此想到，代数基本定理能否这样形象化的理解一下？当你在低维空间找不到根的时候，可以转向高维空间，就像多项式

不用分析单调性，我们知道三次函数必定至少有一个实根(正，负，０都有可能)，但是代数基本定理指出，它也必定存在三个根，那其余的两个根在哪里呢？

我们只能猜测，三维空间中不能存在的东西，它一定隐藏在四维空间（第四个维度不一定是时间哦，科幻小说不是理论推导).

我们先看一下函数在三维和二维空间中的图形：

和x轴只有一个交点，所以我们的猜测是对的，方程有一个实数根，现在我们要找出它另外两个根.

令

那么：

并且

等价于：

所以:

其曲面图像是：

可以看到，除了实轴上的根，其他两个根渐露真容。要知道，这里我们是采用了一个技巧才能办到的，因为模为０和方程有根等价，就是采用取模的办法，使复变函数的实部和虚部当做一个整体看待否则，这样四维空间的图像就落到了三维空间中，否则，是看不到这一图像的。

matlab中可以在三维空间中把实部和虚部在一个坐标系中展示出来，方法是xoy代表复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部。如下图:

图中的颜色可不是为了好看，而是表示第四维的取值。

所以，在三维空间中无解的问题，竟然在四维空间中有解，因此你不必担心代数方程没有根，只要假定无穷维的空间存在，那么根必然存在。当然这么说很直观，也很冒险，只可以作为一条思路来辅助严格的数学证明吧！

由此引出的问题，深深震撼了我！首先世界到底是几维的？坦白讲，我完全不知道，我能看到的只是多维世界在三维世界的投影而已，所以我一辈子必将生活在捕风捉影当中，杯具！

其次如果不知道真实世界的维数，那么一切所谓科学全是建立在不靠谱的基础之上的！请原谅我如此冒昧这么对科学进行评价，因为我现在至少对科学的局限性有了点认识，不会盲目迷信科学了。

再次人眼无非是个摄像头，四维空间看不到没关系，睡觉的时候说不定就能发现自己已然处在四维空间中了，哈哈！当然不是用眼睛看到的！

又或许所有的世界级数学难题再高维空间像１＋１＝２那么简单，更高等的数学使用异常复杂的数学变换将计算过程引入高维空间，被赋予各种只有再高维空间存在的几何意义，达到目的后，再投影回低维空间，由于维度的缺失，投影回来的问题变得难以理解，但这一切再高维度空间不再是问题．

哎！