复变函数

复数也可以有导数，为了更好理解复数的导数，我们可以借鉴实数的相关定义，引申出复数域的导数：

定义1：设函数 f ( z ) f(z) f(z) 在 z o z_o zo​ 的邻域内有定义， lim ⁡ f ( z o + Δ z ) − f ( z o ) Δ z = C \lim \frac{f(z_o + \Delta z) - f(z_o)}{\Delta z} = C limΔzf(zo​+Δz)−f(zo​)​=C 存在，则称 C C C 是 f ( z ) f(z) f(z) 在 z o z_o zo​ 的导数，记作 f ′ ( z o ) f'(z_o) f′(zo​)。

那么它必然就要有可微、连续等一般性质。所以在这个前提下，原本用于实数域的导数规则，就可以直接用在复数域里。那么关于导数的公式定义，不熟悉的朋友可以参考我之前写的这一章节 《数学基础知识总结 —— 1. 常用导数公式》。

例题： 已知 f ( 0 ) = 1 f(0) = 1 f(0)=1， f ′ ( 0 ) = 1 + j f'(0) = 1 + j f′(0)=1+j 求 lim ⁡ z → 0 f ( z ) − 1 z \lim_{z \rightarrow 0} \frac{f(z) - 1}{z} limz→0​zf(z)−1​ 解： 首先把极限公式按照标准形式进行改变，于是有 lim ⁡ f ( z ) − 1 z = lim ⁡ z → 0 f ( 0 + z ) − f ( 0 ) z = lim ⁡ Δ z → 0 f ( 0 + Δ z ) − f ( 0 ) Δ z \lim \frac{f(z) - 1}{z} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{f(0 + z) - f(0)}{z} = \lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(0 + \Delta z) - f(0)}{\Delta z} limzf(z)−1​=z→0lim​zf(0+z)−f(0)​=Δz→0lim​Δzf(0+Δz)−f(0)​ 而以上结果其实就变成了对于函数 f ( z ) f(z) f(z) 在 z = 0 z = 0 z=0 处的导数，结果为 f ′ ( 0 ) = 1 + j f'(0) = 1 + j f′(0)=1+j。

如果我们的复函数 f ( z ) f(z) f(z) 仅仅是 f ( z ) = x + j y f(z) = x + jy f(z)=x+jy 这种简单形式，那么就完全不需要引入复变函数的概念。但如果复函数的实数与虚数部分，都可以分别表示为两个实数函数的形式时，例如

f ( z ) = x y 3 + j ( x + y ) f(z) = xy^3 + j(x+ y) f(z)=xy3+j(x+y)

那么对这样的问题分析和求解就会变得格外麻烦和棘手。所以此时，我们会分别令 u ( x , y ) = x y 3 u(x, y) = x y^3 u(x,y)=xy3 和 v ( x , y ) = x + u v(x, y) = x+ u v(x,y)=x+u，上式于是就变成了这样的的形式

f ( z ) = u ( x , y ) + j v ( x , y ) f(z) = u(x, y) + j v(x, y) f(z)=u(x,y)+jv(x,y)

那问题就可以从复杂的复函数问题，变成简单的实数函数问题的线性相加，也就是把原本复杂的数据问题降维处理了。因此，原本比如对 f ′ ( z ) f'(z) f′(z) 的求导，就可以变成对 u u u 和 v v v 的求导。

这里参考求导公式 f ′ ( u , v ) = [ u + v ] ′ = u ′ + v ′ f'(u, v) = [u + v]' = u' + v' f′(u,v)=[u+v]′=u′+v′

因此，如果 u u u 和 v v v 函数分别都有各自的导数，那么 f ( z ) f(z) f(z) 就可以有导数，且 f ′ ( z ) = u ′ + v ′ f'(z) = u' + v' f′(z)=u′+v′。现在，当我们有复函数 f ( z ) = z 2 f(z) = z^2 f(z)=z2，其中 z = x + j y z = x + jy z=x+jy。它一定对于所有的点 z z z 处处可导，那么当它展开后

f ( z ) = x 2 − y 2 + 2 j x y f(z) = x^2 - y^2 + 2jxy f(z)=x2−y2+2jxy

其各自的复变函数 u u u 和 v v v 的偏微分函数为

{ u x = ( x 2 − y 2 ) ′ = 2 x v x = ( 2 x y ) ′ = 2 y u y = ( x 2 − y 2 ) ′ = − 2 y v y = ( 2 x y ) ′ = 2 x \left \{ \begin{matrix} u_x = (x^2 - y^2)' = 2x \\ v_x = (2xy)' = 2y \\ u_y = (x^2 - y^2)' = -2y \\ v_y = (2xy)' = 2x \end{matrix} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​ux​=(x2−y2)′=2xvx​=(2xy)′=2yuy​=(x2−y2)′=−2yvy​=(2xy)′=2x​

于是可以得到 u x = v y u_x = v_y ux​=vy​， v x = − u y v_x = -u_y vx​=−uy​，注意这里是系数关系。于是，我们间接的引入了「柯西-黎曼」方程：

在一对实值函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) 和 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y) 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程： ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} ∂x∂u​=∂y∂v​ 和 ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{ \partial u}{\partial y } = -\frac{ \partial v}{ \partial x } ∂y∂u​=−∂x∂v​ 通常， u u u 和 v v v 取为一个复函数的实部和虚部： f ( x + i y ) = u ( x , y ) + j v ( x , y ) f(x + iy) = u(x,y) + jv(x,y) f(x+iy)=u(x,y)+jv(x,y)。假设 u u u 和 v v v 在开集C上连续可微，则当且仅当 u u u 和 v v v 的偏微分满足柯西-黎曼方程组， f = u + i v f=u+iv f=u+iv是全纯的。

关于「柯西-黎曼」方程一些小历史

复分析中的柯西-黎曼微分方程（Cauchy–Riemann equations）是提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。

至此，我们得出了对于复变函数的导数，一个极为重要的——「柯西-黎曼」方程：

f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + j ∂ v ∂ x = ∂ v ∂ y − j ∂ u ∂ y f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + j \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - j \frac{\partial u}{\partial y} f′(z)=∂x∂u​+j∂x∂v​=∂y∂v​−j∂y∂u​