实变函数论文

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(

设计

)

课程中的应用

题目：

各角度讨论逼近思想在实变

姓名：

王

凯

指导教师：

崔亚琼

完成日期：

 2021 

年

 1 

月

 3 

日

学院：

数学与计算机科学学院

班级：

数学与应用

数学五班

各角度谈论逼近思想在实变课程中的应用

一、

逼近思想在函数中的形成

从

18

世纪到

19

世纪初期，在

L. 

欧拉、

P.-S. 

拉普拉斯、

J.-B.-J. 

傅里叶、

J.-V. 

彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。这些问题是从

诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。在当时没有可能形成深刻的

概念和统一的方法。切比雪夫提出了最佳逼近概念

, 

研究了逼近函数类是

n 

次多项式时最

佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元定理的特征。他和他的学生们

研究了与零的偏差最小的多项式的问题

, 

得到了许多重要结果。已知【α

, b 

】区间上的

连续函数

ƒ(x ), 假,(n ≥0),叫做

ƒ(x ) 的

n 

阶最佳一致逼近值

, 

也简称为最佳逼近值，

简记为

E n(ƒ) 。能使极小值实现的多项叫做

ƒ(x ) 的

n 

阶最佳逼近多项式。切比雪夫

证明了

, 

在区间

【

-1,1

】上函数

x n+1

的

n 

阶最佳逼近多项式必满足关系式。多项就是著名的切比雪

夫多项式。切比雪夫还证明了,…+是

ƒ(x ) 在【α

, b 

】上的

n 

阶最佳逼近多项式的充

分必要条件是：在【α，

b 

】上存在着

n +2

个点

:

α≤x 1

    1885

年德国数学家

K. 

（

T.W. 

）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数

的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何

预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项

式才能逼近得最好。如果考虑后一个问题，那么自然就需要考虑在次数不超过某个固定整

数

 n 

的一切多项式中如何来选择一个与

ƒ(x ) 的一致误差最小的多项式的问题，而这正

好是切比雪夫逼近的基本思想。所以可以说切比雪夫和外尔斯特拉斯是逼近论的现代发展

的奠基者。

    20

世纪初在一批杰出的数学家，包括

С. Η

. 

伯恩斯坦、

D 

．杰克森、

瓦莱－普桑、

H.L. 

勒贝格等人的积极参加下，开创了最佳逼近理论蓬勃发展的阶段。这一理论主要在

以下几个方面取得了很大进展：