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复利
你可能想先阅读利息简介 复利的计算是先计算第一期的利息,把利息加到本金上,然后用新的本金计算下一期的利息,就这样重复下去: 金额增加得越来越快,像这样: 这是 5年 10% 的计算结果: 年 初始借贷额 利息 终极借贷额 0 (现在) ¥1,000.00 (¥1,000.00 × 10% = ) ¥100.00 ¥1,100.00 1 ¥1,100.00 (¥1,100.00 × 10% = )) ¥110.00 ¥1,210.00 2 ¥1,210.00 (¥1,210.00 × 10% = ) ¥121.00 ¥1,331.00 3 ¥1,331.00 (¥1,331.00 × 10% = ) ¥133.10 ¥1,464.10 4 ¥1,464.10 (¥$1,464.10 × 10% = ) ¥146.41 ¥1,610.51 5 ¥1,610.51我们可以逐步来做: 计算利息(= "初始借贷额" × 利率) 把利息加到 "初始借贷额" 上来得到年底的 "终极借贷额" 年底的 "终极借贷额" 是下一年的 "初始借贷额"简单,但需要很多计算。 但是,用巧妙的数学就可以找到捷径。 做个公式我们可以为以上的算法做个公式……先看第一年: 41,000.00 + (¥1,000.00 × 10%)= ¥1,100.00 可以重排为: 加 10% 就是乘以 1.10 所以这个: ¥1,000 +(¥$1,000 x 10%)= ¥1,000 + ¥100 = ¥1,100 和这个是相同的: ¥1,000 × 1.10 = ¥1,100注意:把利率除以 100 来转换为小数: 10% = 10/100 = 0.10 去这里学习百分比。实际运算时只要把小数点向左移两位,像这样: 10% ⇒ 1.0 ⇒ 0.10 12% ⇒ 1.2 ⇒ 0.12 6% ⇒ 0.6 ⇒ 0.06这样我们可以一步就做好一年的计算: 把 "初始借贷额" 乘以 (1 + 利率)来得到 "终极借贷额"好了,窍门是…… ……公式在任何年份都适用! 我们可以这样求下一年的利息:¥1,100 × 1.10 = ¥1,210 再下一年:¥1,210 × 1.10 = ¥1,331 等等……像这样:
这样乘 5次,我们就可以直接计算第五年的金额: ¥1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = ¥1,610.51 用指数(幂)来写比较简单:
一步就完成了上面列表里的计算。 公式上面是个实例,但我们也可以用字母和符号来写一个一般通用的公式: (看到和上面的计算是一样的吗?PV = ¥1,000、 r = 0.10, n = 5、 FV = ¥1,610.51) 这是另一个写法,"FV" 在左边: FV = PV × (1+r)n 其中 FV = 终值 PV = 现值 r = 年利率 n = 期数 这就是复利的基本公式。 它非常重要,值得牢记。 例子我们现在来看一些例子…… …… 如果年期是 15年呢?……改变 "n" 的值: ……如果年期是 5年,而利率是 6% 又怎么样? 我们把 6% 代入公式::……20年,8%?你自己来! "反过来"求现值假设你想在 5年后得到 ¥2,000,利率是 10%。你现在始要投资多少钱? 换句话说,你已知道终值,现在你想求现值。 我们知道把现值(PV)乘以 (1+r)n 就可以得到终值(FV),所以我们反过来用除法: 因此,公式是: PV = FV / (1+r)n 答案是: PV = ¥2,000 / (1+0.10)5 = ¥2,000 / 1.61051 = ¥1,241.84 就是说,¥1,241.84 的投资,利率为 10%,5年后会增长到 ¥2,000。 再举个例:年利率是 8%,你现在要投资多少钱才能在 10年后得到 ¥10,000? PV = ¥10,000 / (1+0.08)10 = ¥10,000 / 2.1589 = ¥4,631.93 所以,投资¥4,631.93,年利率为 8%,10年后就是 ¥10,000 复利计算期复利不一定是每年计算,计算期也可以是每月、每日等等。如果不是每年计算就应该清晰地写出来! 例子:你借了 ¥1,000,年期是 12个月,利率是 "每月 1%",到期时你要还多少钱? 用终值的公式,以 "n" 为月数: FV = PV × (1+r)n = ¥1,000 × (1.01)12 = ¥1,000 × 1.12683 = ¥1,126.83 = 需要还的款项 也可以是年利率,但一年里计算几次利息。这个安排称为 定期复利。 例子:6% 年利率,"按月计算利息"。这不代表每个月的利率是 6%,它的意思是每个月 0.5%(6% 除以 12个月),算法是这样: FV = PV × (1+r/n)n = ¥1,000 × (1 + 6%/12)12 = ¥1,000 × (1.005)12 = ¥1,000 × 1.06168…… = ¥1,061.68 = 需要还的款项 实际年利率是 6.168% (¥1,000 增加到 ¥1,061.68)。 所以一定要小心去了解借贷的条款! APR (年度百分率)房贷广告通常都相当复杂(有时是故意复杂的!),时常你会看到 "APR" (年度百分率)。 APR 就是 "年度百分率"…… 它的意思是你一年里实际上要支付多少 (包括复利、其他收费等等)。 其实是 6.335%一些例子: 例子:"1% 月利率" 实际上等于 12.683% APR(没有其他收费)。 并且: 例二:"6% 年利率,按月计算复利" 等于 6.168% APR(没有其他收费)。 如果你要比较,就比较 APR(年度百分率)。 歇会儿! 到目前为止,我们学习了用 (1+r)n 来把现值(PV)与终值(FV)互相转换,也学习了贷款利息的一些细节。 上半场完了!我们休息一下。等会儿我们还有两个课题: 求利率,如果已知现值、终值和期数。 求期数,如果已知现值、终值和利率求利率 如果你知道现值、终值和期数,你就可以求利率。 例子:你有 ¥1,000,你想它在 5年后增长到 ¥2,000,你需要的利率是多少? 公式是: r =(FV / PV)1/n − 1 注意:"1/n" 是个 分数指数,先计算 1/n,然后把结果作为指数输入计算器。 例如,20.2 是这样输入的:2,"x^y", 0,., 2,= 我们只需要"代入"数值来得到答案: r =(¥2,000 / ¥1,000))1/5 − 1 =(2)0.2 − 1 = 1.1487 − 1 = 0.1487 0.1487 就是 14.87%, 所以你需要 14.87% 的利率来把 ¥1,000 在 5年后变成 ¥2,000。 再举个例:把 ¥1,000 在 20年后变成 ¥5,000 的利率是多少? r =(¥5,000 / ¥1,000)1/20 − 1 =(5)0.05 − 1 = 1.0838 − 1 = 0.0838 0.0838 就是 8.38%。 所以 8.38% 在 20年后会把 ¥1,000 变成 ¥5,000。 求期数如果你知道终值、现值和利率,你就可以求期数。 例子:利率是 10%,你想知道需要多少期来把 ¥1,000 变成 ¥2,000。 公式是(注意:公式用了自然对数函数 ln): n = ln(FV / PV) / ln(1 + r) 好计算器都会有 "ln" 函数功能。 你也可以用 log,但不能两个一起用。 我们 "代入" 数值: n = ln( $2,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.10 ) = ln(2)/ln(1.10) = 0.69315/0.09531 = 7.27 真神奇!如果利率是 10%,我们需要 7.27年 来把 ¥1,000 变成 ¥2,000。 再举个例:利率是 5%,把 ¥1,000 变成 ¥10,000 需要多少年? n = ln( $10,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19 47年!这不稀奇,因为金额大了十倍,而利率只有 5%。 计算器 我做了个复利计算器使用这些公式做运算。 总结复利的基本公式是: FV = PV (1+r)n 求终值,其中: FV = 终值、 PV = 现值、 r = 利率(以小数表达)、 n = 期数 重排这个公式(见导出复利公式),我们便可以从已知任何三个去求第四个变量: PV = FV(1+r)n 求现值,已知终值、利率和期数。 r = (FV/PV)(1/n) − 1 求利率,已知现值、终值和期数。 n = ln(FV / PV)ln(1 + r) 求期数,已知现值、终值和利率(注意:ln 是 自然对数函数) 年金到目前为止,我们都是看一个数值怎样随着时间改变……但如果有一系列的数值,例如 定期还款或年度投资呢?你可以去年金页面了解这些课题. 利息简介 投资图表 复利计算器 复利:定期复利 |
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