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【笔记】第四章 等离子体中的波
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4. 1 波的表示法
用傅里叶分析法能将任何一种流体的周期性运动分成具有不同频率 \(\omega\) 和波长 \(\lambda\) 的正弦振荡的叠加. 这些分量中的任何一个都是一种简单的波. 在小振幅振荡 时, 波形一般是正弦的, 并且只有一种组分. 这就是我们将考虑的情况. 任何正弦的振荡量 (如密度 \(n\) ) 能表示成 \[n = \bar n e^{i(\vec k\cdot\vec r - \omega t)}\tag{4-1} \]在笛卡儿坐标系中 \[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}=k_{x} x+k_{y} y+k_{z} z\tag{4-2} \]这里 \(\bar{n}\) 是确定波振幅的一个常数, 而 \(\boldsymbol{k}\) 称为传播常数. 如果波在 \(x\) 方向传播, \(\boldsymbol{k}\) 只有一个 \(x\) 分量, 方程 \((4-1)\) 变成 \[n=\bar{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} \]按照习惯, 指数记法意味着取表达式的实部为可测量. 让我们选择 \(\bar{n}\) 是实数, 不 久将看到, 这种选择相当于挑选 \(x\) 和 \(t\) 的原点. 因此, \(n\) 的实部是 \[\operatorname{Re}(n)=\bar{n} \cos (k x-\omega t) \]对于有衰减的情况， \[n = \bar n e^{i(\vec k\vec r-\omega t)+pt} \]指数上的非虚数部分表示阻尼（衰减） 可以将波重新写作 \[ n = \bar n e^{i(\vec k\vec r-\omega t)+pt} = \bar ne^{pt} e^{i(\vec k\vec r-\omega t)} =\bar n_c e^{i(\vec k\vec r-\omega t)} \]\(\bar n_c\)为复振幅，可以消除下标\(c\)以表示一般形式 在波上, 恒定相位的点是运动的, 结果是 \((\mathrm{d} / \mathrm{d} t)(k x-\omega t)=0\), 【因为相位恒定，不随时间改变，所以对时间导数为零】或者【由此推出下式】 \[\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\omega}{k} \equiv v_{\varphi} \]这个速度称为相速度. 如果 \(\omega / k\) 是正的, 则波向右运动; 也就是说, 为了使 \(k x-\omega t\) 保持常量, \(x\) 随 \(t\) 的增加而增加. 如果 \(\omega / k\) 是负的, 波向左运动, 我们也可同样 好地将 \(n\) 表达成 \[n=\bar{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x+\omega t)} \]这时, 正的 \(\omega / k\) 会具有负相速度的含义. 这是有时使用的一种定法, 但我们不采 用它. 从方程 (4-3) 清楚地看到, 使 \(\omega\) 和 \(k\) 都反转符号, 其结果并不改变. 相速度可以超光速，和运动速度不是一回事，不传递能量\(\Rightarrow\)不传递信息 现在, 考虑波中的另一个振荡量, 比如, 考虑电场 \(\boldsymbol{E}\). 由于我们选择 \(n\) 的相 位是零, 因此必须让 \(\boldsymbol{E}\) 有一个不同的相位 \(\delta\), \[\boldsymbol{E}=\overline{\boldsymbol{E}} \cos (k x-\omega t+\delta) \text { 或 } \boldsymbol{E}=\overline{\boldsymbol{E}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t+\delta)} \]先有密度不均匀，后有的电场，电场晚于波，所以就有\(\delta\)表示相位延迟 其中, \(\overline{\boldsymbol{E}}\) 是一个不变的实矢量 . 通常将相位信息合并到 \(\overline{\boldsymbol{E}}\) 中, 要做到这一点, 就要让 \(\overline{\boldsymbol{E}}\) 为复数, 我们能将 \(\boldsymbol{E}\) 写成 \[\boldsymbol{E}=\overline{\boldsymbol{E}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \delta} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} \equiv \overline{\boldsymbol{E}_{\mathrm{c}}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} \]其中, \(\overline{\boldsymbol{E}}_{\mathrm{c}}\) 是一个复振幅. 相位 \(\delta\) 能从 \(\overline{\boldsymbol{E}}_{\mathrm{c}}\) 求出, 由于 \(\operatorname{Re}\left(\overline{\boldsymbol{E}}_{\mathrm{c}}\right)=\overline{\boldsymbol{E}} \cos \delta\) 和 \(\operatorname{Im}\left(\overline{\boldsymbol{E}}_{\mathrm{c}}\right)=\) \(\overline{\boldsymbol{E}} \sin \delta\), 因此 \[\tan \delta=\frac{\operatorname{Im}\left(\overline{\boldsymbol{E}_{\mathrm{c}}}\right)}{\operatorname{Re}\left(\boldsymbol{E}_{\mathrm{c}}\right)} \]从现在起, 我们将假定所有的振幅都是复数, 并且去掉下标 c. 任何振荡量 \(g_{1}\) 将 写成 \[g_{1}=g_{1} e^{i(k \cdot r-\omega t)} \]因此, \(g_{1}\) 既能代替复振幅, 又能代替整个表达式 (4-7). 这样做不会出现混淆, 因为在线性波理论中, 同一个指数因子会出现在任何方程的两边, 因而能够 抵消. 4. 2 群速度等离子体中波的相速度经常超过光速 \(c\). 这并不违背相对论, 因为一个无限长 的恒定振幅的波列不能传递信息. 例如, 无线电波的载波在它调制以前不能传递 信息. 调制的信息不是以相速度而是以群速度传播, 而群速总是小于光速 \(c\). 为了 说明这一点, 我们可以考虑一个调制波, 它是由两个接近于等频的波的叠加 (“差频”) 形成的. 令这两个波是 \[\begin{array}{l}E_{1}=E_{0} \cos \left(k_{1} x-\omega_{1} t\right)=E_{0} \cos [(k+\Delta k) x-(\omega+\Delta \omega) t] \\ E_{2}=E_{0} \cos \left(k_{2} x-\omega_{2} t\right)=E_{0} \cos [(k-\Delta k) x-(\omega-\Delta \omega) t]\end{array} \]其中，\(k_{1}=k+\Delta k, \quad k_{2}=k-\Delta k, \quad \omega_{1}=\omega+\Delta \omega, \quad \omega_{2}=\omega-\Delta \omega\) \(E_{1}\) 和 \(E_{2}\) 的频率差为 \(2 \Delta \omega\). 由于每个波必须具有与它们在媒质中传播相适应的相 速度 \(\omega / k\), 因此就必须考虑到传播常数的差 \(2 \Delta k\). 频率差 \(2 \Delta \omega\),波数也要差\(2 \Delta k\)，才能保证相速度不变。❓为什么不变，相速度有什么决定？ 用简化符号 \[\begin{gathered} a=k x-\omega t \\ b=(\Delta k) x-(\Delta \omega) t \end{gathered} \]就得到 \[\begin{aligned} E=E_{1}+E_{2} &=E_{0} \cos (a+b)+E_{0} \cos (a-b) \\ &=E_{0}(\cos a \cos b-\sin a \sin b+\cos a \cos b+\sin a \sin b) \\ &=2 E_{0} \cos a \cos b \\ E_{1}+E_{2} &=2 E_{0} \cos ((\Delta k) x-(\Delta \omega) t )\cos (k x-\omega t) \end{aligned} \]这是一个正弦调制波（图 4-1）. 携带波信息的是波的包络线（由 \(\cos (\Delta k x-\Delta \omega t)\) 给出, 它以速度 \(\Delta \omega / \Delta k\) 传播. 取极限 \(\Delta \omega \rightarrow 0\), 我们定义群速度是 \[v_{\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{d} \omega} { \mathrm{d} k} \]频率要随着k改变才能传递信息——调频，并且可以传输能量。 例子：电子在电磁波中的运动——画八字？\(\Rightarrow\)没有传递信息。如果频率改变，运动会发生变化，从电磁波获得能量。 它是一个不能超过光速 \(c\) 的量. 
4. 3 等离子体振荡
如果使等离子体中的电子与均匀的离子本底有个位移, 将会建立电场, 其方向 是把电子拉回到它们原先的位置, 以恢复等离子体的中性. 因为电子的惯性, 它们 将冲过平衡位置, 并以特征频率围绕它们的平衡位置振荡. 这个特征频率被认为就 是等离子体频率 (plasma frequency) . 这种振荡是如此之快, 以至于重离子没有时 间响应振荡场, 而可以把它们看成是固定的. 在图 4-2 中, 空心的矩形表示典型的 离子流体元, 而阴影的矩形表示交替位移的电子流体元. 产生的电荷聚集会在空间 形成一个周期性的 \(E\) 场, 这个场趋向于使电子恢复到它们的中性位置. 
我们将在最简单情况下推导等离子体频率 \(\omega_{\mathrm{p}}\) 的表达式, 作以下几个假定： (1)不存在磁场;【圈形磁场，没有影响】 (2)不存在热运动 \((K T=0)\);【有热运动就会把振荡变成波传播出去，因为会碰到其他离子】 (3) 离子均匀分布固定在空间中; 【离子质量大，是本底】 (4)等离子体的大小为无限大; 【不考虑边界影响】 (5)电子只在 \(x\) 方向运动. 作为最后一个假定的结 果, 就有 \[\nabla=\hat{\boldsymbol{x}}\frac{\partial} { \partial x}, \quad \boldsymbol{E}=\hat{\boldsymbol{x}}, \quad \nabla \times \boldsymbol{E}=0, \quad \boldsymbol{E}=-\nabla \phi \]因此, 不存在涨落磁场; 这是一种静电振荡. 电子的运动方程和连续性方程是 \[\begin{align} m n_{\mathrm{e}}\left[\frac{\partial v_{\mathrm{e}}}{\partial t}+\left(v_{\mathrm{e}} \cdot \nabla\right) v_{\mathrm{e}}\right] &=-e n_{\mathrm{e}} \boldsymbol{E} \tag{4-12}\\ \frac{\partial n_{\mathrm{e}}}{\partial t}+\nabla \cdot\left(n_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}}\right) &=0\tag{4-13} \end{align} \]没有热运动，\(\nabla p=0\)。不考虑磁场，不含洛伦兹力。 我们只需要一个麦克斯韦方程, 就是那个不包含 \(\boldsymbol{B}\) 的方程：泊松方程. 这种情况 是 \(3.6\) 节所述的一般规则（泊松方程不能用来求出 \(\boldsymbol{E}\) ）的一个例外. 这是一种高 频振荡; 电子惯性是重要的, 在这种特定情况下, 偏离中性是主要的效应. 因此 我们写出 \[\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\partial \boldsymbol{E} / \partial \boldsymbol{x}=4 \pi e\left(n_{\mathrm{i}}-n_{\mathrm{e}}\right)\tag{4-14} \]用线性化的方法不难解出方程 \((4-12) \sim\) 方程 (4-14) . 线性化就是指振荡的振 幅是小量, 而且能忽略包含高价振幅因子的项. 我们首先把因变量分成两部分： 用下标 0 表示 “平衡” 部分, 用下标 1 表示扰动部分 \[n_{\mathrm{e}}=n_{0}+n_{1}, \quad v_{\mathrm{e}}=v_{0}+v_{1}, \quad \boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0}+\boldsymbol{E}_{1} \]平衡量表示不存在振荡时的等离子体状态. 由于我们在电子位移前已作了静止的 均匀中性等离子体的假定, 我们有 \[\begin{aligned} &\nabla n_{0}=v_{0}=\boldsymbol{E}_{0}=0 \\ &\frac{\partial n_{0}}{\partial t}=\frac{\partial v_{0}}{\partial t}=\frac{\partial \boldsymbol{E}_{0}}{\partial t}=0 \end{aligned} \]现在, 方程 (4-12) 变为 \(m n_{\mathrm{e}}\left[\frac{\partial v_{\mathrm{e}}}{\partial t}+\left(v_{\mathrm{e}} \cdot \nabla\right) v_{\mathrm{e}}\right] =-e n_{\mathrm{e}} \boldsymbol{E}\) \[m\left[\frac{\partial \boldsymbol{v}_{1}}{\partial t}+\left(\boldsymbol{v}_{1}\cdot\hat{\nabla}\right) \boldsymbol{v}_{1}\right]=-e \boldsymbol{E}_{1}\\ m[\frac{\partial \boldsymbol{v}_{1}}{\partial t}]=-e \boldsymbol{E}_{1}\tag{4-17} \]项 \(\left(v_{1} \cdot \nabla\right) v_{1}\) 被看成是振幅的二次项，我们将忽略这一项而线性化. 只要 \(\mid v\) 1 足够小, 以至于这种二次项确实可以忽略, 线性理论就是正确的. 同样, 方程 (4-13) 变成 \[\begin{align} &\frac{\partial n_{1}}{\partial t}+\nabla \cdot\left(n_{0} v_{1}+n_1\hat{v}_{1}\right)=0 \quad\Rightarrow \frac{\partial n_{1}}{\partial t}+\nabla \cdot(n_{0} v_{1})=0 \\ &\frac{\partial n_{1}}{\partial t}+n_{0} \nabla \cdot v_{1}+v_{1} \cdot \nabla\cdot{n_{0}}=0\quad \Rightarrow\frac{\partial n_{1}}{\partial t}+n_{0} \nabla \cdot v_{1}=0\tag{4-18} \end{align} \]在泊松方程 (4-14) 中, 我们注意到, 在平衡时 \(n_{i 0}=n_{\mathrm{e} 0}\), 按照离子是固定的 假定, 就有 \(n_{\mathrm{il}}=0\), 因此 \[\nabla \cdot \boldsymbol{E}_{1}=-4 \pi e n_{1}\tag{4-19} \]假定振荡是按正弦变化 \[\begin{aligned} &\boldsymbol{v}_{1}=v_{1} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} \hat{\boldsymbol{x}} \\ &n_{1}=n_{1} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} \\ &\boldsymbol{E}=E \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} \hat{\boldsymbol{x}} \end{aligned} \]因此, 时间导数 \(\partial / \partial t\) 能用一 \(\mathrm{i} \omega\) 来代替, 梯度 \(\nabla\) 可用 \(\mathrm{i} k \hat{x}\) 来代替. 方程 (4-17) ~方程 (4-19) 就变成 \[\begin{align} -\mathrm{i} m \omega v_{1}=-e E_{1}\tag{4-21} \\ -\mathrm{i} \omega n_{1}=-n_{0} \mathrm{i} k v_{1}\tag{4-22} \\ \mathrm{i} k E_{1}=-4 \pi e n_{1}\tag{4-23} \end{align} \]例如 \(\frac {\partial n_1}{\partial x}=ikn_1\) \(\frac{\partial n_1}{\partial t}=-i\omega n_1\) 消去 \(n_{1}\) 和 \(E_{1}\), 方程 (4-21) 变为 \[-\mathrm{i} m \omega v_{1}=-e \frac{-4 \pi e(-n_{0} \mathrm{i} k v_{1})}{\mathrm{i} k(-i\omega)}=-\mathrm{i} \frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{\omega} v_{1} \]如果 \(v_{1}\) 不为零, 必须有 \[\omega^{2}=4 \pi n_{0} e^{2} / m \]因此,等离子体频率是 \[\omega_{\mathrm{p}}=\left(\frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{m}\right)^{\frac{1}{2}} \]
\(n_c\)固有频率点\临界密度点 n随x增大而减小，\(\omega\)也随之减小。激光由右侧进入等离子体，到达\(\omega_c=\omega_L\)处，激光就不能继续向左，因为那里的频率大于激光频率。之后激光会被反射。 代人数值后, 我们能用近似公式 \[f_{\mathrm{p}} \approx 9000 \sqrt{n} \]这个频率仅取决于等离子体密度, 它是等离子体的基本参量之一. 因为 \(m\) 小, 等离子体频率通常是很高的. 例如, 在密度为 \(n=10^{12} \mathrm{~cm}^{-3}\) 的等离子体中, 我们得到 \[f_{\mathrm{p}} \approx 10^{4}\left(10^{12}\right)^{1 / 2}=10^{10} \mathrm{~s}^{-1}=10 \mathrm{GHz} \]\(f_{\mathrm{p}}\) 的辐射一般处于微波区. 我们可将这个频率和另外一个电子频率 \(\omega_{\mathrm{c}}\) 进行比较. 一个有用的数值公式是 \[f_{\mathrm{ce}} \approx 2.8 \mathrm{~B} \mathrm{GHz} / \mathrm{kG} \quad(B \text { 的单位为 } \mathrm{kG}) \]这样, 如果 \(B \approx 3.5 \mathrm{kG}, n \approx 10^{12} \mathrm{~cm}^{-3}\), 回旋频率近似等于电子的等离子体频率. 方程 (4-25) 告诉我们, 如果发生一个等离子体振荡, 它必定有一个只取决 于 \(n\) 的频率. 尤其是 \(\omega\) 与 \(k\) 无关, 所以群速度 \(\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} k\) 是零, 扰动不能传播. 振荡群速度是零，波的群速度不是零。 用力 学模拟能清楚地看到这种情况是如何发生的 (图 4-3). 设想许多重球用弹簧等距 离地悬挂在一条线上. 假如所有弹簧是相同的, 每个球将以同一个频率垂直振 荡. 要是各个球彼此之间以适当的位相启动, 就可使它们形成一个能在任何一个 方向传播的波. 频率将由弹簧来确定, 而波长则能任意选择. 在终端的两个未扰 动球将不受影响, 初始扰动并没有传播 . 像紧张的绳子一样, 行波或者驻波都可 能产生. 然而, 绳子上的波必定要传播, 因为每段绳子跟邻近各段绳子相连. 
这个模拟不是十分确切的, 因为等离子体振荡具有 \(k\) 方向的运动而不具有垂 直于 \(k\) 方向的运动. 然而, 只要电子不与离子或其他电子发生碰撞, 它们仍可以 被描述成在水平方向运动的独立振子（图 4-3）. 但是, 电场怎么样? 它能否扩展到超出初始扰动的区域，并使邻近的等离子体层产生振荡呢?在我们这个简单的例子中是不行的，因为等量的无限大的正负平面电荷层产生的电场为零.在任何有限系统中，等离子体振荡将传播.在图 4-4 中，平面等离子体振荡的正和负（划上阴影）区域被约束在一个圆柱管内.边缘电场引起了一种对邻近层的扰动耦合，振荡就不停留在局部区域. 
4.4电子等离子体波
存在着另一种能引起等离子体振荡传播的效应，就是热运动。以热速度流入等离子体邻近层的电子, 将携带出现在振荡区域的信息. 于是, 这种等离子体振 荡可正当地称为等离子体波. 在运动方程 (4-12) 中加上 \(\nabla p_{\mathrm{e}}\) 项就很容易处理这 个效应. 在一维问题中, 根据方程 (3-53)【\(\gamma=(2+N) / N\)，N是自由度数目】, \(\gamma\) 为 3. 因此 \[\nabla p_{\mathrm{e}}=3 K T_{\mathrm{e}} \nabla n_{\mathrm{e}}=3 K T_{\mathrm{e}} \nabla\left(n_{0}+n_{1}\right)=3 K T_{\mathrm{e}} \frac{\partial n_{1}}{\partial x} \hat{x} \]由于\(\Delta p\)的存在，才会有热运动产生。 \(n_e=n_0+n_1\) \(n_0=0\) \[m n_{\mathrm{e}}\left[\frac{\partial v_{\mathrm{e}}}{\partial t}+\left(v_{\mathrm{e}} \cdot \nabla\right) v_{\mathrm{e}}\right] =-e n_{\mathrm{e}} \boldsymbol{E} \tag{4-12} \]线性化的运动方程是 \[m n_{0} \frac{\partial v_{1}}{\partial t}=-e n_{0} E_{1}-3 K T_{e} \frac{\partial n_{1}}{\partial x}\tag{4-28} \]注意在线性化时, 我们已经忽略了 \(n_{1} \partial v_{1} / \partial t, n_{1} E_{1}\) 以及 \(\left(v_{1} \cdot \nabla\right) v_{1}\) 项【因为很小】. 用方 程 (4-20), 可将方程 (4-28) 变成 \[-\mathrm{i} m \omega n_{0} v_{1}=-e n_{0} E_{1}-3 K T_{\mathrm{e}} \mathrm{i} k n_{1}\tag{4-29} \] \[\begin{array}{l}\vec{v}_{1}=v_{1} e^{i(k x-\omega t)} \hat{x} \\ n_{1}=n_{1} e^{i(k x-\omega t)} \\ \vec{E}=E e^{i(k x-\omega t)} \hat{x}\tag{4-20} \end{array} \]\(E_{1}\) 和 \(n_{1}\) 仍然由方程 (4-23) 和 (4-22) 给出 \[\begin{align} -\mathrm{i} \omega n_{1}=-n_{0} \mathrm{i} k v_{1}\tag{4-22} \\ \mathrm{i} k E_{1}=-4 \pi e n_{1}\tag{4-23} \end{align} \], 得到 \[\begin{array}{c} \mathrm{i} m \omega n_{0} v_{1}=\left[e n_{0}\left(\frac{-4 \pi e}{\mathrm{i} k}\right)+3 K T_{\mathrm{e}} \mathrm{i} k\right] \frac{n_{0} \mathrm{i} k}{\mathrm{i} \omega} v_{1} \\ \Downarrow\\ \omega^{2} v_{1}=\left(\frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{m}+\frac{3 K T_{\mathrm{e}}}{m} k^{2}\right) v_{1} \\ \Downarrow\\ \omega^{2}=\omega_{\mathrm{p}}^{2}+\frac{3}{2} k^{2} v_{\mathrm{th}}^{2}\tag{4-30} \end{array} \]其中, 【热运动速度】\(v_{\mathrm{th}}^{2} \equiv 2 K T_{\mathrm{e}} / m\). \(\omega\)与等离子频率有关，还与热运动有关。 现在, 频率与 \(k\) 有关, 群速度是有限的 \[\begin{array} 2 \omega \mathrm{d} \omega=\frac{3}{2} v_{\mathrm{th}}^{2} 2 k \mathrm{~d} k \\ v_{\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k}=\frac{3}{2} \frac{k}{\omega} v_{\mathrm{th}}^{2}=\frac{3}{2} \frac{v_{\mathrm{th}}^{2}}{v_{\phi}}\tag{4-31} \end{array} \]\(v_{\phi}\)相速度 
从方程 (4-30) 的图 4-5, 能很容易看到 \(v_{g}\) 总是小于 \(c\). 图 4-5 是由方程 (4-30) 给 出的色散关系 \(\omega(k)\) 图. 在曲线上任何一点 \(P\), 从原点到 \(P\) 点所画直线的斜率给 出相速度 \(\omega / k\), 而在 \(P\) 点处曲线的斜率给出群速度. 很清楚, 群速度总是小于 \((3 / 2)^{1 / 2} v_{\mathrm{th}}\), 而在非相对论性理论中, 它是远小于 \(c\) 的. \(v_gv_{\phi}=\frac 3 2 v_{th}^2\) 如何得到群速度总是小于 \((3 / 2)^{1 / 2} v_{\mathrm{th}}\)❓ 注意, 在大的 \(k\) 值（小的 \(\lambda\) 值) 时, 信息实质上以热速度传播 .【因为如果波长小，小于平均自由程，一个粒子在震动的时候碰不到另一个粒子，主要靠热运动与其他粒子碰撞。】 在小的 \(k\) 值 (大的 \(\lambda\) 值) 时, 即使 \(v_{\phi}\) 大于 \(v_{\text {th }}\), 信息也以远小于 \(v_{\mathrm{th}}\) 的速度传播 - 这是因为在 \(\lambda\) 大时密度梯度小, 热运动几乎 不携带什么净动量进人到邻近层中. 从朗缪尔时代起 (20 世纪 20 年代), 人们就已经知道等离子体振荡的存在. 直到 1949 年, 玻姆 (Bohm) 和格罗斯 (Gross) 提出了一个详细的理论, 才告诉 人们波怎样传播以及波怎样激发. 激发等离子体波的简便方法是将一个振荡电势 加到等离子体中的一个栅极或一组栅极上; 然而在那时, \(\mathrm{GHz}\) 范围的振荡器一般 还没有使用. 作为替代方法, 我们必须用一个电子束来激发等离子体波. 如果束 中的电子被聚集, 使得它们以频率 \(f_{\mathrm{p}}\) 通过任何固定点, 它们会产生具有那种频 率的电场, 并且激发等离子体振芴. 这并不需要预先就将电子聚集, 因为一旦发 生等离子体振荡, 它们将聚集电子, 而振荡将通过一个正反馈机制增长. 在 1954 年, 卢尼 (Looney) 和布朗 (Brown) 首先做出了验证这个理论的实验. 他们使 用的装置全部安装在直径大约为 \(10 \mathrm{~cm}\) 的玻璃球内（图 4-6）. 在低的水银蒸气压 力 \(\left(3 \times 10^{-3}\right.\) Torr \()\) 下, 阴极 \(K\) 和阳极环 \(A\) 之间的放电形成了充满这个球的等离 子体. 电子束在一个侧管中产生, 侧管中有一个负偏置的灯丝. 发射的电子加速 到 \(200 \mathrm{~V}\) 并通过小孔射人等离子体中. 用一个可移动的细探针丝拾取振荡信号, 这个探针与无线电接收器相连接. 图 4-7 示出了关于 \(f^{2}\) 与放电电流关系的实验结 果, 放电电流一般正比于密度. 实验点显示了线性关系, 和方程 (4-26) 大致符 合. 与直线的偏离可归因于方程 (4-30) 中的 \(k^{2} v_{\mathrm{th}}^{2}\) 项. 然而, 并不能观察到所有 的频率; \(k\) 只能取这样一些值, 使得半波长的整数倍恰好为等离子体柱长度. 在 图 4-7 的左边示出了驻波图形. 在这个实验中不能看到所预期的等离子体行波, 也许是因为电子束是那么细, 以至于热运动使电子离开电子束, 从而消耗了振荡 能量. 电子聚集并不在等离子体中完成, 而是在等离子体柱末端的振荡䩗中完 成. 在这个早期实验中, 我们发现再现均匀等离子体理论中所假定的条件需要相 当的技巧. 
4. 5 声波
作为离子波的一个引言, 让我们简短地回顾普通空气中的声波理论. 忽略黏 滞性, 我们可把描述这些波的纳维-斯托克斯方程 (3-48) 写成 \[\rho\left[\frac{\partial v}{\partial t}+(v \cdot \nabla) v\right]=-\nabla p=-\frac{\gamma p}{\rho} \nabla \rho\tag{4-32} \] 没有电场 忽略粘性\(\to\)理想气体连续性方程是 \[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho v)=0 \]对具有均匀 \(p_{0}\) 和 \(\rho_{0}\) 值的稳态平衡点线性化, 我们有 \[\begin{aligned} &-\mathrm{i} \omega \rho_{0} \vec v_{1}=-\frac{\gamma p_{0}}{\rho_{0}} \mathrm{i} \vec k_{\rho_{1}} \\ &-\mathrm{i} \omega \rho_{1}+\rho_{0} \mathrm{i} \vec k \cdot \vec v_{1}=0 \end{aligned} \]其中我们再次采用了下列形式的波 \[\exp [\mathrm{i}(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}-\omega t)] \]对于 \(k=k \hat{x}\) 和 \(v=v \hat{x}\) 的平面波, 消去 \(\rho_{1}\), 我们发现 \[\begin{gathered} -\mathrm{i} \omega \rho_{0} v_{1}=-\frac{\gamma p_{0}}{\rho_{0}}\mathrm{i} k \frac{ \rho_{0}\mathrm{i} k v_{1}}{i\omega} \\ \omega^{2} v_{1}=k^{2} \frac{\gamma p_{0}}{\rho_{0}} v_{1} \end{gathered} \]或者 \[\frac{\omega}{k}=\left(\frac{\gamma p_{0}}{\rho_{0}}\right)^{1 / 2}=\left(\frac{\gamma K T}{M}\right)^{1 / 2}=c_{s} \]M是分子的质量【一个分子？】 是密度波，纵波 这就是中性气体中声波速度 \(c_{\mathrm{s}}\)的表达式. 这个波是由于空气分子间的碰撞而从一 层传播到下一层的压力波. 在没有中性气体和几乎没有碰撞的等离子体中, 发生 了一种类似的现象. 这就叫做离子声波 (ion acoustic wave), 或简单地叫做离子 波 (ion wave). 4. 6 离子波在无碰撞时, 普通声波不会发生. 然而, 离子由于它们的电荷仍然能互相传 播振动; 声波能够经电场的媒介而发生. 由于涉及质量重的离子运动, 这些波将 是低频的振荡,【\(\because \omega_{\mathrm{p}}=\left(\frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{m}\right)^{\frac{1}{2}}\)】 我们将用 \(3.6\) 节描述的等离子体近似. 所以, 我们假定 \(n_{\mathrm{i}}=n_{\mathrm{e}}=n\), 并且不用泊松方程. 无磁场时, 离子的流体方程是 \[M n\left[\frac{\partial v_{i}}{\partial t}+\left(v_{i} \cdot \nabla\right) v_{i}\right]=e n \boldsymbol{E}-\nabla p=-e n \nabla \phi-\gamma_{i} K T_{i} \nabla n \]因为达到热动平衡\(\Rightarrow\)等温\(\Rightarrow\)\(\frac{\nabla p}{p}=\gamma \frac{\nabla n}{n}\tag{3-52}\) 我们已经假定了 \(E=-\nabla \phi\) 并用了状态方程. 线性化并假定是平面波, 我们得到 \[-\mathrm{i} \omega M n_{0} v_{i1}=-e n_{0} \mathrm{i} k \phi_{1}-\gamma_{i} K T_{i} \mathrm{i} k n_{1}\tag{4-38} \]就电子而论, 我们可以假定 \(m=0\), 并应用 \(3.5\) 节有关沿 \(\boldsymbol{B}\) 运动的论证, 来考虑 现在的 \(\boldsymbol{B}=0\) 情况. 所以, 电子上力的平衡要求 \[n_{\mathrm{e}}=n=n_{0} e^{ \left(\frac{e \phi_{1}}{K T_{\mathrm{e}}}\right)}=n_{0}\left(1+\frac{e \phi_{1}}{K T_{\mathrm{e}}}+\cdots\right) \]是玻尔兹曼分布 可以展开的条件是\(e\phi_1 |
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