数理统计基础：参数估计与假设检验

在学习机器学习的过程中，我充分感受到概率与统计知识的重要性，熟悉相关概念思想对理解各种人工智能算法非常有意义，从而做到知其所以然。因此打算写这篇笔记，先好好梳理一下参数估计与假设检验的相关内容。

先从整体结构上进行一个把握。数理统计的主要任务是通过样本的信息推断总体的信息，即统计推断工作。统计推断主要有两大类问题：参数估计和假设检验。它们都建立在抽样分布理论的基础之上，但角度不同。参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数；而假设检验是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。参数估计又分为点估计和区间估计，假设检验也可以根据具体问题分为单侧检验和双侧检验。

在正式开始前，对统计量和抽样分布进行简要的介绍，有助于后面的理解。

统计量：统计量是样本的函数，且不含任何未知参数。若 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1​,X2​,...,Xn​是总体 X X X 的样本，统计量可表示为 T = T ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) T=T(X_1,X_2,...,X_n) T=T(X1​,X2​,...,Xn​)。统计量依赖且只依赖于样本 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1​,X2​,...,Xn​，它不含总体分布的任何未知参数。也就是说，当获得了样本观测值后，统计量的值可以被唯一确定下来。

统计量也是随机变量，统计量的分布叫抽样分布 。统计量的分布与样本分布有关，样本分布与未知的总体分布有关，因此抽样分布也与总体分布有关。一般求出统计量的分布是非常困难的事，但如果总体是正态分布，问题会变得相对简单。 以样本平均数为例，它是总体平均数的一个估计量，如果按照相同的样本容量，相同的抽样方式，反复地抽取样本，每次可以计算一个平均数，所有可能样本的平均数所形成的分布，就是样本平均数的抽样分布。

总体的信息是由总体的分布来刻画的，在实际问题中，往往可以根据问题的背景确定该随机现象的总体所具有的分布类型，但是总体中往往有些参数是未知的。一般来说，这些参数很难精确求出，为此要从总体中抽取样本对其进行估计，这类问题称为参数估计问题。

点估计是通过样本值求出总体参数的一个具体的估计量和估计值（这里说的“具体的估计值”是为了和区间估计相对，区间估计是给出区间和置信度，而不是具体的值）. 其一般的步骤可概括为 “抽样—构造—代值—计算” ：

矩估计法的基本思想是替换原理，即用样本矩替换同阶总体矩。·其依据是由大数定律知，各阶样本矩依概率收敛于同阶总体矩，于是可令各阶样本矩与同阶总体矩相等，下式中 i 代表阶数，k 代表总体中未知参数个数，有几个未知参数就列几个方程： E ( X i ) = A i = 1 n ∑ j = 1 n x j i ( i = 1 , 2 , . . . , k ) E(X^i)=A_i=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^nx_j^i\quad(i=1,2,...,k) E(Xi)=Ai​=n1​j=1∑n​xji​(i=1,2,...,k)

矩 是对变量分布和形态特点的一组度量。n阶矩被定义为变量的n次方与其概率密度函数之积的积分。直接使用变量计算的矩被称为原始矩（raw moment），移除均值后计算的矩被称为中心矩（central moment）。变量的一阶原始矩等价于数学期望（expectation）、二至四阶中心矩被定义为方差（variance）、偏度（skewness）和峰度（kurtosis）。

举个最简单的例子，设总体 X X X 的分布为 F ( x ; θ ) F(x;\theta) F(x;θ) ， θ \theta θ为待估参数， X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1​,X2​,...,Xn​ 为来自总体的样本。那么 E ( X ) E(X) E(X) 应为 θ \theta θ 的函数 h ( θ ) h(\theta) h(θ)，由大数定律知样本均值依概率收敛于总体均值，因此可令 E ( X ) = X ‾ = h ( θ ) E(X)=\overline{X}=h(\theta) E(X)=X=h(θ)将样本观测值代入求出 X ‾ \overline{X} X，再解此方程求出 θ \theta θ 即可。这个过程可以看作是用样本一阶矩 X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i X=n1​∑i=1n​Xi​ 估计总体一阶矩 E ( X ) E(X) E(X)的过程。结合点估计的一般步骤可知，这里构造的统计量就是样本均值。

【例】 设总体为 X X X ，总体均值 E ( X ) = μ E(X)=\mu E(X)=μ 和总体方差 D ( X ) = σ 2 D(X)=\sigma^2 D(X)=σ2 存在， X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1​,X2​,...,Xn​ 为来自总体的样本，求 μ \mu μ 和 σ 2 \sigma^2 σ2的矩估计量。

要求两个未知参数，令一阶样本矩等于一阶总体矩，二阶样本矩等于二阶总体矩： { E ( X ) = X ‾ E ( X 2 ) = D ( X ) + [ E ( X ) ] 2 = A 2 \begin{cases} E(X)=\overline{X} \\\\E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=A_2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​E(X)=XE(X2)=D(X)+[E(X)]2=A2​​ 即： { μ = X ‾ σ 2 + μ 2 = 1 n ∑ i = 1 n X i 2 \begin{cases}\mu=\overline{X}\\ \\ \sigma^2+\mu^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​μ=Xσ2+μ2=n1​i=1∑n​Xi2​​ 解得矩估计量为 { μ ^ = X ‾ σ 2 ^ = 1 n ∑ i = 1 n X i 2 − X ‾ 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 \begin{cases}\hat{\mu}=\overline{X}\\ \\ \hat{\sigma^2}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2 -\overline{X}^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​μ^​=Xσ2^=n1​i=1∑n​Xi2​−X2=n1​i=1∑n​(Xi​−X)2​

极大似然估计法(Maximum Likelihood Estimate) 是建立在极大似然原理基础上的。所谓极大似然，可理解为“最大可能性”，即令每个样本属于其真实标记的可能性越大越好。

极大似然原理的直观想法是：概率最大的事最可能出现。设一个随机试验有若干可能结果 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1​,A2​,...,An​，若在一次结果中 A k A_k Ak​ 出现，则认为 A k A_k Ak​ 出现的概率较大，那未知参数的取值应当满足 A k A_k Ak​ 发生概率最大。

为了介绍极大似然估计，这里引入似然函数的概念：

似然函数     设 X 1 , X 2 , . . . , X N X_1,X_2,...,X_N X1​,X2​,...,XN​ 为来自总体 X X X 的简单随机样本， x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1​,x2​,...,xn​ 为样本观测值，称 L ( θ ) = ∏ i = 1 n p ( x i , θ ) L(\theta)=\prod\limits_{i=1}^np(x_i,\theta) L(θ)=i=1∏n​p(xi​,θ) 为参数 θ \theta θ 的似然函数。

当总体 X X X 是离散型随机变量时， p ( x i , θ ) p(x_i,\theta) p(xi​,θ) 表示 X X X 的分布列 P { X = x i } P\{X=x_i\} P{X=xi​} ； 当总体 X X X 是连续型随机变量时， p ( x i , θ ) p(x_i,\theta) p(xi​,θ) 表示 X X X 的密度函数 f ( x , θ ) f(x,\theta) f(x,θ) 在 x i x_i xi​处的取值 。

参数 θ \theta θ 的似然函数 L ( θ ) L(\theta) L(θ) 实际上就是样本 X 1 , X 2 , . . . , X N X_1,X_2,...,X_N X1​,X2​,...,XN​ 恰好取观测值 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1​,x2​,...,xn​ （或其邻域）的概率。以离散型为例：

L ( θ ) = P { X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , . . . , X n = x n } = P { X 1 = x 1 } P { X 2 = x 2 } . . . P { X n = x n } = ∏ i = 1 n p ( x i , θ ) \begin{aligned} L(\theta) &=P\{X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n\} \\ &=P\{X_1=x_1\}P\{X_2=x_2\}...P\{X_n=x_n\} \\ &=\prod_{i=1}^np(x_i,\theta)\end{aligned} L(θ)​=P{X1​=x1​,X2​=x2​,...,Xn​=xn​}=P{X1​=x1​}P{X2​=x2​}...P{Xn​=xn​}=i=1∏n​p(xi​,θ)​ 从这个公式也可以看出，极大似然估计的一个重要假设是：来自总体的简单随机样本 X 1 , X 2 , . . . , X N X_1,X_2,...,X_N X1​,X2​,...,XN​ 是独立同分布的。

存在一个只与观测值 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1​,x2​,...,xn​ 有关是实数 θ ^ ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) \hat{\theta}(x_1,x_2,...,x_n) θ^(x1​,x2​,...,xn​) ，使 L ( θ ^ ) = m a x   L ( θ ) L(\hat{\theta})=max\ L(\theta) L(θ^)=max L(θ) ，则称 θ ^ ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) \hat{\theta}(x_1,x_2,...,x_n) θ^(x1​,x2​,...,xn​) 为参数 θ \theta θ 的最大似然估计值， θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat{\theta}(X_1,X_2,...,X_n) θ^(X1​,X2​,...,Xn​)是极大似然估计量。

极大似然估计对未知参数的数量没有要求，可以求一个，也可以一次求出多个。它要求总体的分布是已知的。由于似然函数是多个函数乘积的形式，为简化运算可以考虑对 L ( θ ) L(\theta) L(θ) 取对数得到对数似然函数 I n L ( θ ) InL(\theta) InL(θ)

【例】 设总体 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2) ， X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1​,X2​,...,Xn​ 为来自总体的样本，求未知参数 μ \mu μ 和 σ 2 \sigma^2 σ2的最大似然估计量。

【几年前的草稿，发出来先用着、、、】