HPM视角下的数学概念教学

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HPM视角下的数学概念教学

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2.目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能基于单轴用一个点表示一个有序数对，到基于双轴用一个点表示一个有序数对。

达成目标（2）的标志是：学生理解两条数轴一般具备的特征：原点重合；互相垂直；向右为正方向，向上为正方向。理解坐标平面，在坐标平面内理解横轴（x轴）、纵轴（y轴）、原点、象限、坐标等相关概念。

达成目标（3）的标志是：学生在理解建立平面直角坐标系的必要性的基础上，体会平面内的点和有序数对的“一一对应”：给一个坐标，就有唯一确定的点与之对应；反之，给一个点，就有唯一确定的坐标与之对应。在给定的平面直角坐标系中，学生能由点的位置写出坐标，给出坐标确定点的位置。

三、教学问题诊断分析

平面内的点的坐标是根据数轴上点的坐标来定义的，学生已经理解了数轴上的点与坐标的一一对应关系，对从一维空间过渡到二维空间的认识还存在着认识上的不足，要让学生真正理解建立平面直角坐标系的必要性，体会其中蕴含的点与坐标的一一对应关系比较困难，需要较强的抽象思维能力。另外章起始课建构全章的研究脉络，也是比较重要的，需要学生主动思考，进行有意义建构。

因此，本节课的教学难点是：理解建立平面直角坐标系的必要性，体会平面直角坐标系中点与坐标的一一对应，建构本章的研究脉络。

四、教学过程设计

（一）提出问题：解析几何的建立，是西方数学的转折点。

平面直角坐标系的创建者：笛卡尔（1596-1650）与费马（1601-1665）“普遍数学”的思想：

将所有问题转化为数学问题，又将一切数学问题转化为代数问题，再将代数问题转化为方程问题来解决。数学中的几何问题能否与代数问题进行互相转化呢？

由学生结合笛卡尔的漫画，介绍笛卡尔。激发学习兴趣。

【设计意图】教师介绍笛卡尔“普遍数学”的思想，引导学生思考：几何对象和代数对象能否互相转化。

（二）分析问题：

平面直角坐标系的前世

1.实数都可以在数轴上表示出来。

2.尝试将用一个点表示出来。

笛卡尔用如下的方式用一个点表示出了，你能理解其合理性吗？

如何表示，，，，，……

你能发现这些数组满足的关系式吗？

满足（二元一次方程），笛卡尔就是用这种方式将一个一元二次方程用图形表示出来的。特殊的，离开原来的数轴上的相应的点上下平移相应的单位长度，就得到表示相应数组的点。

这时，笛卡尔虽然建立了坐标系，但是是单轴，利用单轴可以表示负的坐标。

反过来，给定一个点P，能否用两个实数表示出来呢？

过P作x轴的垂线段，垂足在x轴上的数为3，P与垂足间的距离是3，且在x轴的下方，所以点P可以表示一对数 .

在这里，作了一条垂线段，就能获取y的对应值了。

这时，其实可以试试再作一条竖着的数轴。

平面直角坐标系的今生：数学家沃利斯引进了过原点的竖着的轴，即用两条互相垂直的数轴于公共原点处建立平面直角坐标系，这样就可以用数刻画相对于公共原点（O）的位置了。

由于数对的正负组合有四种情况，而两条相交直线将平面分成四个区域，可使平面内点的分布情况与“数对”的符号组合情况相互联系，两条数轴成为分界线。

【设计意图】通过平面直角坐标系的前世今生的介绍，还原数学家发现平面直角坐标系的过程，由于收到学生知识的限制，不能完全像数学家一样探究，在基于单轴用一个点表示一个有序数对时，先给出一个示范，观察交流其合理性，再放手让学生基于单轴表示有关系的几组有序数对，进一步归纳代数特征，进而体会将二元一次方程实现几何表示，初步体会几何对象和代数对象可以互相转化。

（三）讲解新知

一般地，在平面内取一点，过点画两条互相垂直的数轴，且它们以点为公共原点，在平面内建立了一个直角坐标系。对于水平放置的数轴，它的正方向向右，称为横轴，记作轴；对于垂直放置的数轴，向上为正方向，称为纵轴，记作轴。平面直角坐标系中，为坐标原点，简称原点,轴，轴统称为坐标轴，直角坐标系所在的平面称为直角坐标平面，简称为坐标平面。

坐标平面被两条坐标轴分成了4部分，每部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

坐标轴上的点不属于任何象限。

有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。

如图，在平面直角坐标系中，点B，C，D的坐标分别是什么？

B（-2，3），C（4，-3），D（-1，-4）．

对于平面内的任意一点P，过点P 作x轴的垂线段，垂足为M，可得点M在x轴上所对应的实数a；再过点P 作y轴的垂线段，垂足为N，可得点N在y轴上所对应的实数b.那么有序实数对（a,b）表示点P 的位置，记作P(a,b).

已知有序数对（a,b）,在x轴上找到表示a的点M，过M作x轴的垂线，在y轴上找到表示b的点N，过N作y轴的垂线，两条垂线交于点P。

用所学的几何知识解释平面内的点与有序数对是一一对应的。

点唯一，垂线唯一，交点唯一。

借助平面直角坐标系，可以确定图形的位置，研究两点间的线段的长度，两条直线的垂直及平行关系，两条线段的大小关系，用坐标表示平移，……。

【设计意图】通过阅读定义，找出关键词，明确平面直角坐标系的相关概念，在明确定义的基础上，通过用坐标表示点，已知点写出坐标，并用学过的几何原理解释点与坐标的一一对应关系，初步感知借助平面直角坐标系，可以解决的相关问题，揭示本章的研究脉络。

（四）应用提升

数学家传递手稿活动：笛卡尔位于图中原点O的位置，他的好朋友费马与其他朋友分别位于图中A,B,C,D,E,F的位置。现在笛卡尔有一些重要手稿，需要助手转交给费马与其他朋友。请问笛卡尔应该怎么向助手描述这些朋友的位置呢？

【设计意图】根据题意，合理建立直角坐标系，再写出这些点的坐标，巩固所学新知。

（五）数学文化

用坐标系确定点的位置起源于古代，战国时代的石申制成的世界上最早的星表《石氏星经》，用坐标思想方法记录了一百多颗恒星的位置。14世纪，已有经纬度的萌芽，笛卡尔从古代的天文和地理的经纬线制中得到启发，于1637年出版的《方法论》中，阐述了平面坐标方法和变量思想。

坐标系有许多种。按空间维数分，有平面坐标系和空间坐标系。

在平面坐标系中，有平面直角坐标系、平面斜角坐标系、仿射坐标系、极坐标系等。

吴文俊先生在中国传统数学史研究的基础上，继承并发展了中国古代以“问题解决”为主旨的算法体系，创立了数学机械化方法。几何问题的代数化是几何问题的机械化的第一步，为此需要引进数系，构建坐标系，把几何问题转化为代数问题进行描述。

【设计意图】通过介绍数学文化，了解中外不同数学家对平面直角坐标系发展的贡献，揭示数形结合思想的历史源流与传承，体现数学的理性精神和人文情怀，感受跨时空的数学文化交融。

（六）课堂小结

1.本节课的核心内容：平面直角坐标系，从一维数轴过渡到二维平面直角坐标系构建的必要性。

2.平面直角坐标系将平面上的点和有序实数对之间，建立了一一对应关系。

3.数学文化方面：

【设计意图】通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，理解平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系，感受数形结合思想。

（七）布置作业

1.阅读课本P65 -68 7.1.2平面直角坐标系完成练习1.2

2.习题7.1的1-6题。

五、课堂目标检测

1.在平面直角坐标系中描出下列各点：

A（4，5），B（-2，3），C（-4，-1）， D（3，0），K（0，-4）．

2.在平面直角坐标系中写出图中点A，B，C，D，E的坐标.

【设计意图】主要考查学生对平面直角坐标系中点的坐标表示的掌握情况。

六、教学反思

平面直角坐标系是以数轴为基础的，它是由两条互相垂直，原点重合的数轴构成的，“平面直角坐标系”的建立使有序数对与平面内的点产生了一一对应，提供了用代数方法来研究几何问题的重要数学工具．作为章起始课的主要功能是帮助学生了解本章学习内容、地位和作用，本节课关注知识体系的建构，初步感知本章的研究脉络，让学生对学习进程心中有数，唤醒并激发学生学习的兴趣和热情，有助于发展学生的核心素养，章起始课教学要起到“转轴拨弦两三声，未成曲调先有情”的效果。

参考文献

1.义务教育教科书教师教学用书数学七年级下册，人民教育出版社，2012年10月第1版