中级微观经济学

公共物品(public good)是消费外部性的一个特例：每个人必须消费相同数量的该种商品。

我们以简单的例子开始分析。假设有两个室友，1和2。他们商讨决定是否购买电视。由于受公寓大小所限，电视只能放在客厅。两人都可看电视，因此电视是公共物品而不是私人物品。问题在于他们购买电视是否值得？

我们用 w_1 和 w_2 分别表示该二人的初始财富； g_1 和 g_2 表示为买电视各自所出资金； x_1 和 x_2 表示各自所剩资金，用于私人消费。预算约束为：

x_1+g_1=w_1\\ x_2+g_2=w_2\\再假设电视剧的成本为 c ，因此，为买得电视，两人所出资金之和至少应该为 c ，即

g_1+g_2\ge c\\第1个人的效用函数 u_1(x_1,G) 取决于他的私人消费 x_1 和是否得到电视这种公共物品( G=1 表示有电视， G=0 表示没有电视)。第2个人的效用函数 u_2(x_2,G) 。第1个人对于购买电视的保留价格为 r_1 ，这意味着如果需要以价格 r_1 购买电视，那么对于第1个人而言，购买电视与不购买电视是一样的，即

u_1(w_1-r_1,1)=u_1(w_1,0)\\同样地，第2个人购买电视的保留价格为 r_2 ，则有

u_1(w_2-r_2,1)=u_1(w_2,0)\\我们需要考虑的是，配置1：不提供电视，每个人将财富仅仅用于个人消费， (w_1,w_2,0) ；配置2：提供电视， (x_1,x_2,1) 。究竟哪种配置更好。

若配置方式 (x_1,x_2,1) 使得两人在购买电视后的状况比不买电视要好，这意味着

u_1(w_1,0)c\\那么，存在某种支付方案 (g_1,g_2) ，使得购买电视可以改善两人的状况。支付方案只需要满足r_1>g_1;r_2>g_2;g_1+g_2=c 。

我们已经看到，若两人的支付意愿之和大于公共物品的成本，购买电视就是帕累托有效率的。这个条件是公共物品配置的效率条件，但这并不意味这他们会真正决定购买电视。他们是否决定购买电视取决于他们采用何种方法以达成共同决策。

若这两人合作并真实地回答他们对电视的评价，那么他们不难决定是否购买电视。但在某些情形下，他们没有激励如实报出各自对电视的评价。

例如，假设两人对电视的评价相等，并且每人的保留价格均大于电视的成本，即 r_1>c 和 r_2>c 。第1人可能认为，如果他说他对电视的评价为0，另外一人无论如何都会购买电视。但第2人也会同样推理。那么有可能两人均拒绝合伙购买电视，因为每个人都期望对方首先沉不住气，从而单独购买电视。

在该情形中，经济学家说每个人都希望搭便车(fee ride)：每个人都希望对方单独购买电视。因为只要有人购买电视，其他人都可以坐享其成，所以每个人都有尽可能少出钱的激励。

在上述的例子中，我们的决策是二选一的：要么提供电视要么不提供。但是当公共物品的数量可以选择时，搭便车的现象也会发生。假设，两个室友必须决定应该在电视上花多少钱。花钱越多，买到的电视质量越好。

令 x_1 和 x_2 表示每个人的私人消费， g_1 和 g_2 表示购买电视时每个人所出资金， G 表示他们所买电视的质量，质量的成本函数为 c(G)。

两人面对的约束为：

x_1+x_2+c(G)=w_1+w_2\\若某配置是帕累托有效的，那么给定该配置和消费者2的效用水平，消费者1的效用将被最大化，即有

\underset{x_1,x_2,G}{\rm max}\,\,u_1(x_1,G)\\ s.t.\,\, u_2(x_2,G)=\bar{u}_2\\ x_1+x_2+c(G)=w_1+w_2\\建立拉格朗日函数，有

L=u_1(x_1,G)-\lambda_1[u_2(x_2,G)-\bar{u}_2]-\lambda_2[(x_1+x_2+c(G))-(w_1+w_2)]\\一阶条件为

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x_1}&=\frac{\partial u_1(x_1,G)}{\partial x_1}-\lambda_2=0\\ \frac{\partial L}{\partial x_2}&=-\lambda_1\frac{\partial u_2(x_2,G)}{\partial x_2}-\lambda_2=0\\ \frac{\partial L}{\partial x_1}&=\frac{\partial u_1(x_1,G)}{\partial G}-\lambda_1\frac{\partial u_2(x_2,G)}{\partial G}-\lambda_2\frac{\partial c(G)}{\partial G}=0\\ \end{aligned}\\即有

\frac{MU(G)^1}{MU_{x_1}^1}+\frac{MU(G)^2}{MU_{x_2}^2}=MC(G)\\ \Rightarrow |MRS_1|+|MRS_2|=MC(G)\\我们可以把边际替代率看作是人们对额外一单位公共产品的边际支付意愿，则上式表明：帕累托有效率意味着边际支付意愿之和必须等于公共产品的边际成本。

在图1中，将每个人的MRS曲线垂直相加即可得到MRS总和曲线，公共物品有效率的配置为MRS之和等于边际成本处。

因此，对于涉及不同水平的公共物品来说，效率条件为，在公共物品最优供给数量之处，边际支付意愿