参数估计的均方误差（MSE），偏置（Bias）与方差（Variance）分解，无偏估计

均方误差，偏置和方差都是统计学中非常重要的概念。

对于机器学习来说，MSE一般是计算两个东西的MSE，一个是参数估计的MSE，一个是模型预测的MSE。我主要关注的是参数估计的MSE。

参数估计的MSE定义为 M S E = E θ [ ( θ ^ − θ ) 2 ] MSE = E_\theta[(\hat{\theta}-\theta)^2] MSE=Eθ​[(θ^−θ)2]，其中 θ \theta θ表示真值， θ ^ \hat{\theta} θ^表示预测值， E θ E_\theta Eθ​并不是表示在 θ \theta θ的分布上求期望，而是关于似然函数的期望，即 E θ [ ( θ ^ − θ ) 2 ] = ∫ x ( θ ^ − θ ) 2 f ( x ; θ ) d x E_\theta[(\hat{\theta}-\theta)^2]=\int_{x}(\hat{\theta}-\theta)^2f(x;\theta)dx Eθ​[(θ^−θ)2]=∫x​(θ^−θ)2f(x;θ)dx ，可以理解为在所有观测值上求平均。

MSE可以进行分解： M S E = E θ [ ( θ ^ − θ ) 2 ] = E θ [ θ ^ 2 + θ 2 − 2 θ ^ θ ] = E θ [ θ ^ 2 ] − E θ [ θ ^ ] 2 + E θ [ θ ^ ] 2 + θ 2 − 2 θ E θ [ θ ^ ] = V θ [ θ ^ ] + ( θ − E θ [ θ ^ ] ) 2 MSE = E_\theta[(\hat{\theta}-\theta)^2] =E_\theta[\hat{\theta}^2+\theta^2-2\hat{\theta}\theta] \\= E_\theta[\hat{\theta}^2]-E_\theta[\hat{\theta}]^2+E_\theta[\hat{\theta}]^2+\theta^2-2\theta E_\theta[\hat{\theta}]\\=V_\theta[\hat{\theta}]+(\theta-E_\theta[\hat{\theta}])^2 MSE=Eθ​[(θ^−θ)2]=Eθ​[θ^2+θ2−2θ^θ]=Eθ​[θ^2]−Eθ​[θ^]2+Eθ​[θ^]2+θ2−2θEθ​[θ^]=Vθ​[θ^]+(θ−Eθ​[θ^])2 定义估计的偏置（偏差）为： b i a s = E θ [ θ ^ ] − θ bias = E_\theta[\hat{\theta}]-\theta bias=Eθ​[θ^]−θ 则上式进一步写为： M S E = V θ [ θ ^ ] + b i a s 2 MSE = V_\theta[\hat{\theta}]+bias^2 MSE=Vθ​[θ^]+bias2

如果利用蒙特卡洛积分估计MSE这个期望： E θ [ ( θ ^ − θ ) 2 ] = ∫ x ( θ ^ − θ ) 2 f ( x ; θ ) d x = 1 N ∑ i = 1 N ( θ ^ i − θ ) 2 E_\theta[(\hat{\theta}-\theta)^2]=\int_{x}(\hat{\theta}-\theta)^2f(x;\theta)dx\\= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(\hat{\theta}_i-\theta)^2 Eθ​[(θ^−θ)2]=∫x​(θ^−θ)2f(x;θ)dx=N1​i=1∑N​(θ^i​−θ)2其中， θ ^ i \hat{\theta}_i θ^i​是由第 i i i个数据估计得来。很多时候下，做机器学习的时候，我们都用这个均方误差来作为优化的目标。

当 b i a s bias bias为0的时候，该估计就是参数的无偏估计。 有时候，虽然估计是有偏的，但是当数据愈来愈多的时候，参数的估计能够依概率收敛到真实值上，称为相合： θ ^ → θ \hat{\theta}\rightarrow\theta θ^→θ

模型为： y = X θ + ϵ y = X\theta+\epsilon y=Xθ+ϵ 多元最小二乘估计(多元高斯噪声最大似然估计)的解为： θ ^ = ( X T X ) − 1 X T y \hat{\theta}=(X^TX)^{-1}X^Ty θ^=(XTX)−1XTy 偏差为： E [ ( X T X ) − 1 X T y ] − θ = ( X T X ) − 1 X T E [ y ] − θ = ( X T X ) − 1 X T X θ − θ = θ − θ = 0 E[(X^TX)^{-1}X^Ty]-\theta\\=(X^TX)^{-1}X^TE[y]-\theta\\=(X^TX)^{-1}X^TX\theta-\theta\\=\theta-\theta=0 E[(XTX)−1XTy]−θ=(XTX)−1XTE[y]−θ=(XTX)−1XTXθ−θ=θ−θ=0 若假设噪声的方差是 σ 2 I \sigma^2I σ2I,则估计量的方差是： V θ [ ( X T X ) − 1 X T y ] = ( X T X ) − 1 X T ) V θ [ y ] ( X T X ) − 1 X T ) T = σ 2 ( X T X ) − 1 V_\theta[(X^TX)^{-1}X^Ty]=(X^TX)^{-1}X^T)V_\theta[y](X^TX)^{-1}X^T)^T\\=\sigma^2(X^TX)^{-1} Vθ​[(XTX)−1XTy]=(XTX)−1XT)Vθ​[y](XTX)−1XT)T=σ2(XTX)−1

进一步，由方差-偏置分解可得 M S E = 0 + t r a c e ( σ 2 ( X T X ) − 1 ) = t r a c e ( σ 2 ( X T X ) − 1 ) MSE=0+trace(\sigma^2(X^TX)^{-1})=trace(\sigma^2(X^TX)^{-1}) MSE=0+trace(σ2(XTX)−1)=trace(σ2(XTX)−1) 这里使用trace是因为多元情形下方差是矩阵。