复变函数拾遗[1]

解析函数的积分与Cauchy高阶求导公式.

THEOREM 1. 设 \(\Omega\) 是一个单连通区域, \(f(z)\) 在其中解析, 则 \(f(z)\) 在 \(\Omega\) 中有原函数且对全在 \(\Omega\) 中的任意Jordan闭分段光滑曲线, 都有 \[\int_Cf(z){\rm d}z=0.\]

THEOREM 2. 设 \(\Omega\) 是一个单连通区域, \(C\) 是全在 \(\Omega\) 中的闭Jordan分段光滑曲线, \(C\) 所围区域是 \(\omega\). 如果 \(f(z)\) 在 \(\Omega\) 内解析, 则如下Cauchy公式 \[f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z){\rm d}z}{z-z_0}\quad (z_0\in\omega).\] 成立, 且对 \(\forall m\in\mathbb{Z}^+\), \(f\) 的 \(m\) 阶复导数 \(f^{(m)}(z)\) 在 \(\Omega\) 内存在并解析, 且如下Cauchy求导公式成立 \[f^{(m)}(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z){\rm d}z}{(z-z_0)^{m+1}}\quad (z_0\in\omega,~m\in\mathbb{Z}^+).\]

简略证明: 　　只证第一式. 设 \(z_0\in\omega\), 则 \(\exists\epsilon_0>-\), s.t. \(\overline{D(z_0,\epsilon_0)}\subset\omega\), 对 \(\forall\epsilon\in(0,\epsilon_0)\), \(\exists\) 有向线段 \([a,b]\in\overline{\omega}\), 其中 \(a\in\partial D(z_0\epsilon_0)\), \(b\in\partial\omega\). 假设 \(b\) 为 \(C\) 的起点和终点, 则 \[[b\to a]\to\partial D(z_0,\epsilon_0)\to[a\to b]\to[C:b\to b]\] 首尾相接构成一条分段光滑曲线.

由于 \(\frac{f(z)}{z-a}\) 在 \(\Omega\backslash\{z_0\}\) 解析, 故 \[\int_C\frac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z+\int_{[a,b]}\frac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z+\int_{[b,a]}\frac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z-\int_{\partial D(z_0,\epsilon_0)}\frac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z=0.\] 从而 \[\int_C \frac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z=\int_{\partial D(z_0,\epsilon_0)}\frac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z=\int_0^{2\pi} f(z_0+\epsilon e^{i\theta})i{\rm d}\theta\to 2\pi if(z_0)~~(\epsilon\to 0).\] 　　第二式可由数学归纳法证得.

THEOREM 3. 设 \(C\) 为一条Jordan闭分段光滑曲线, \(\Omega={\rm int}~C\), \(f(z)\) 在闭域 \(\overline{\Omega}=\Omega\cup C\) 解析, 则 \[\int_C f(z){\rm d}z=0.\]

多连通的情况下, 仍然有如下的Cauchy定理:

THEOREM 4. 设 \(\Omega\) 是由复围线(大圈 \(C_0\) 挖掉 \(n\) 个不相交小圈 \(C_i\)) \[\partial\Omega=C_0+C_1^-+\cdots+C_n^-\] 所围成的有界多连通区域, \(f(z)\) 在 \(\overline{\Omega}\) 中解析, 则 \[\int_{\partial\Omega}f(z){\rm d}z=0.\]

THEOREM 5. 设 \(\Omega\) 是由复围线(大圈 \(C_0\) 挖掉 \(n\) 个不相交小圈 \(C_i\)) \[\partial\Omega=C_0+C_1^-+\cdots+C_n^-\] 所围成的有界多连通区域, \(f(z)\) 在 \(\overline{\Omega}\) 中解析, 则 \[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta){\rm d}\zeta}{(\zeta-z)^{n+1}}\quad (z\in\Omega,~n\in\mathbb{N}).\]

THEOREM 6. 若函数 \(f(z)\) 在圆盘 \(\vert z-z_0\vert