常见的均值不等式的使用技巧

已知两个正数\(a，b\)，则有(当且仅当\(a=b\)时取到等号)

【注意】均值不等式的使用 前提条件： 正、定、等同时成立。

均值不等式中还有一个需要注意的地方：\(a，b\in R\)

如已知向量的内积\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1，\)则有人这样做\(\vec{a}+\vec{b} \ge 2\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{b}}=2\)，这是错的，因为\(\vec{a}，\vec{b}\)不是实数，而是向量。

其次应该掌握的使用技巧： A、\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)（要注意理解\(a、b\)的内涵）如 \(a、b\)可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等

\(x+\cfrac{2}{x}（x>0），\cfrac{2}{x}+\cfrac{x}{2}（x>0），2^x+2^y\ge 2\sqrt{2^{x+y}}，log_a^b+log_b^a(log_a^b>0)，sinx+\cfrac{1}{sinx}(sinx>0)\)

B、直接使用型：

形如这样的\(x+\cfrac{k}{x}（k>0）\)

C、变形后使用型：

①负化正， \(y=x+\cfrac{2}{x} (x1)\)

③凑系数， \(2x+3y=4,\) 求\(xy\)的最大值\(xy=\cfrac{6xy}{6}=\cfrac{(2x)(3y)}{6}\leq \cfrac{1}{6}\cdot \Big(\cfrac{2x+3y}{2}\Big)^2\)

【引例1】已知\(x>1\)，求\(f(x)=x+\cfrac{1}{x-1}\)的最小值。

【引例2】已知\(a>1，b>0， a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}\)的最小值。(\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+b=3\))

【引例3】已知\(a>1，b>2， a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b-2}\)的最小值。(\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1\))

【引例4】已知\(a>0，b>0， \cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=1\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{9}{b-1}\)的最小值。(\(b=\cfrac{a}{a-1}代入，变成关于a的一元，变量集中\))

④限定条件下的最值(常数代换,乘常数再除常数），如已知\(2a+3b=2，a>0，b>0\)，求\(\cfrac{3}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值。

\(\cfrac{3}{a}+\cfrac{2}{b}=\cfrac{1}{2}\cdot (2a+3b）(\cfrac{3}{a}+\cfrac{2}{b})=\cfrac{1}{2}\cdot (6+6+\cfrac{4a}{b}+\cfrac{9b}{a})=\cdots\)

⑤构造\(ax+\cfrac{b}{x}\)型，（此处应该联系分离常数方法，和化为部分分式的变形技巧以及对勾函数或叫耐克函数）

比如，形如\(\cfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}(a，b，c，d，e为常数)\xrightarrow[代换法]{配凑法}ax+\cfrac{b}{x}\)型(分子上使用均值不等式)

形如\(\cfrac{dx+e}{ax^2+bx+c}(a，b，c，d，e为常数)\xrightarrow[代换法]{配凑法}\cfrac{1}{ax+\cfrac{b}{x}}\)型(分母上使用均值不等式)

6、均值不等式失效时，需要用到对勾函数的单调性。

D、代数式中同时有\(a+b\)和\(ab\)型

比如已知\(a，b\in R^{+}，a+b-ab+3=0\),

1、求\(ab\)的范围；

解：\(\because -3+ab=a+b\ge 2\sqrt{ab}\)

\(\therefore ab-2\sqrt{ab}-3\ge 0\)，

\((\sqrt{ab}+1)(\sqrt{ab}-3) \ge 0\)

$\sqrt{ab}\leq -1 或 \sqrt{ab}\ge 3 $

又\(a，b\in R^{+}\)，故 \(\sqrt{ab}\ge 3 (当且仅当a=b=3取到等号)\)

故\(ab\ge 9\)

【评析】两元\(a+b，ab\)变化集中为一元\(ab\)。

2、求\(a+b\)的范围；

解：\(\because a+b+3=ab \leq (\cfrac{a+b}{2})^2，令t=a+b\)

\(t^2-4t-12 \ge 0\)，

$t \leq -2 或 t \ge 6 $

故 \(a+b \ge 6 (当且仅当a=b=3取到等号)\)

【评析】两元\(a+b，ab\)变化集中为一元\(a+b\)。

【典例】已知实数\(a，b，c\)满足\(a+b+c=9，ab+bc+ac=24\)，则\(b\)的取值范围是[1,5].(变量集中)

解：由于\(ab+bc+ac=(a+c)b+ac=24\)

故\(ac=24-(a+c)b \leq (\cfrac{a+c}{2})^2\)

故\(24-(a+c)b \leq (\cfrac{a+c}{2})^2\)，(三元变成了两个元\(a+c，b\))

又因为\(a+c=9-b\)，

即\(24-(9-b)b \leq \cfrac{(9-b)^2}{4}\),(两元\(a+c，b\)变成了一元\(b\))

即\(b^2-6b+5 \leq 0\)

解得\(1\leq b \leq 5\)

后续补充

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