数学建模

Topsis法，全称为Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution，中文常翻译为优劣解距离法，该方法能够根据现有的数据，对个体进行评价排序。根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。

下图中假设只有两个评价指标，因此是二维坐标。 TOPSIS法其中“理想解”和“负理想解”是TOPSIS法的两个基本概念。

主要步骤：

构造决策矩阵 A = ( a i j ) m × n A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n} A=(aij​)m×n​，每一列是一个评价指标，每一行是一条待评价样本。

有的数据是越大越好，有的数据是靠近某个值越好，有的是在一个区间中最好，这种不同的方向和区间让分析变得混乱，为了简化分析我们将数据进行正向化处理，都让他越大越好。

最常见的四种指标：

所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为 极大型指标。

标准化的目的是消除不同指标量纲的影响，常用方法有max-min标准化和Z-score标准化，本文介绍Z-score标准化。

假设有 n n n个要评价的对象， m m m个要评价指标（已经正向化）构成的正向化矩阵如下： X = [ x 11 x 12 ⋯ x 1 m x 21 x 22 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 x n 2 ⋯ x n m ] X=\left[\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1 m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2 m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \cdots & x_{n m} \end{array}\right] X=⎣⎢⎢⎢⎡​x11​x21​⋮xn1​​x12​x22​⋮xn2​​⋯⋯⋱⋯​x1m​x2m​⋮xnm​​⎦⎥⎥⎥⎤​ ，记对其进行标准化的矩阵为Z，Z中的每一个元素通过如下公式计算： z i j = x i j / ∑ i = 1 n x i j 2 z_{i j}=x_{i j} / \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i j}^{2}} zij​=xij​/i=1∑n​xij2​ ​ 例：下表是5位同学身体相关参数，请用TOPSIS法来对同学身体情况进行一个综合的评价。

正向化后矩阵：

得到标准化后的矩阵：

假设有 n n n个要评价的对象， m m m个要评价指标构成的标准化矩阵如下： Z = [ z 11 z 12 ⋯ z 1 m z 21 z 22 ⋯ z 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 z n 2 ⋯ z n m ] Z=\left[\begin{array}{cccc} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1 m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2 m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n 1} & z_{n 2} & \cdots & z_{n m} \end{array}\right] Z=⎣⎢⎢⎢⎡​z11​z21​⋮zn1​​z12​z22​⋮zn2​​⋯⋯⋱⋯​z1m​z2m​⋮znm​​⎦⎥⎥⎥⎤​ 定义最大值 Z + = ( Z 1 + , Z 2 + , ⋯   , Z m + ) = ( max ⁡ { z 11 , z 21 , ⋯   , z n 1 } , max ⁡ { z 12 , z 22 , ⋯   , z m 2 } , ⋯   , max ⁡ { z 1 m , z 2 m , ⋯   , z m m } ) \begin{array}{rlr} Z^{+} & =\left(Z_{1}^{+}, Z_{2}^{+}, \cdots, Z_{m}^{+}\right) \\ & =\left(\max \left\{z_{11}, z_{21}, \cdots, z_{n 1}\right\}, \max \left\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{m 2}\right\}, \cdots, \max \left\{z_{1 m}, z_{2 m}, \cdots, z_{m m}\right\}\right) \end{array} Z+​=(Z1+​,Z2+​,⋯,Zm+​)=(max{z11​,z21​,⋯,zn1​},max{z12​,z22​,⋯,zm2​},⋯,max{z1m​,z2m​,⋯,zmm​})​ 定义最小值 Z − = ( Z 1 − , Z 2 − , ⋯   , Z m − ) = ( min ⁡ { z 11 , z 21 , ⋯   , z n 1 } , min ⁡ { z 12 , z 22 , ⋯   , z n 2 } , ⋯   , min ⁡ { z 1 m , z 2 m , ⋯   , z n m } ) \begin{aligned} Z^{-} &=\left(Z_{1}^{-}, Z_{2}^{-}, \cdots, Z_{m}^{-}\right) \\ &=\left(\min \left\{z_{11}, z_{21}, \cdots, z_{n 1}\right\}, \min \left\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{n 2}\right\}, \cdots, \min \left\{z_{1 m}, z_{2 m}, \cdots, z_{n m}\right\}\right) \end{aligned} Z−​=(Z1−​,Z2−​,⋯,Zm−​)=(min{z11​,z21​,⋯,zn1​},min{z12​,z22​,⋯,zn2​},⋯,min{z1m​,z2m​,⋯,znm​})​ 定义第 i i i个评价对象与最大值的距离 D i + = ∑ j = 1 m ( Z j + − z i j ) 2 D_{i}^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\left(Z_{j}^{+}-z_{i j}\right)^{2}} Di+​=∑j=1m​(Zj+​−zij​)2 ​

定义第 i i i个评价对象与最小值的距离 D i − = ∑ j = 1 m ( Z j − − z i j ) 2 D_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\left(Z_{j}^{-}-z_{i j}\right)^{2}} Di−​=∑j=1m​(Zj−​−zij​)2 ​

那么我们就可以计算得出第 i i i个评价对象未归一化的得分： S i = D i − D i + + D i − S_{i}=\frac{D_{i}^{-}}{D_{i}^{+}+D_{i}^{-}} Si​=Di+​+Di−​Di−​​

很明显 0 ≤ S i ≤ 1 0 \leq S_{i} \leq 1 0≤Si​≤1，且 S i S_i Si​越大 D i + D_i^+ Di+​越小，即越接近最大值。

最后我们可以将得分归一化： S ~ i = S i / ∑ i = 1 m S i \tilde{S}_{i}=S_{i} / \sum\limits_{i=1}^{m} S_{i} S~i​=Si​/i=1∑m​Si​，可以得知 ∑ i = 1 m S ~ i = 1 \sum\limits_{i=1}^{m} \tilde{S}_{i} = 1 i=1∑m​S~i​=1

建模完毕。

假设有 n n n个要评价的对象， m m m个要评价指标构成的标准化矩阵如下： Z = [ z 11 z 12 ⋯ z 1 m z 21 z 22 ⋯ z 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 z n 2 ⋯ z n m ] Z=\left[\begin{array}{cccc} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1 m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2 m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n 1} & z_{n 2} & \cdots & z_{n m} \end{array}\right] Z=⎣⎢⎢⎢⎡​z11​z21​⋮zn1​​z12​z22​⋮zn2​​⋯⋯⋱⋯​z1m​z2m​⋮znm​​⎦⎥⎥⎥⎤​ 可以使用层次分析法或者熵权法给这 m m m个评价指标赋权 D i + = ∑ j = 1 m ω j ( Z j + − z i j ) 2 D_{i}^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m} \omega_{j}\left(Z_{j}^{+}-z_{i j}\right)^{2}} Di+​=j=1∑m​ωj​(Zj+​−zij​)2 ​ D i − = ∑ j = 1 m ω j ( Z j − − z i j ) 2 D_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m} \omega_{j}\left(Z_{j}^{-}-z_{i j}\right)^{2}} Di−​=j=1∑m​ωj​(Zj−​−zij​)2 ​

基于熵权法对上例进行求解（matlab）。