设为首页收藏本站
开启辅助访问
【例题+习题】【数值计算方法复习】【湘潭大学】（二） 您所在的位置：网站首页 › 地方时的计算方法及例题解析 › 【例题+习题】【数值计算方法复习】【湘潭大学】（二）

【例题+习题】【数值计算方法复习】【湘潭大学】（二）

2023-12-16 20:20| 来源: 网络整理| 查看: 265

第二章：函数基本逼近（一）——插值逼近

目录 第二章：函数基本逼近（一）——插值逼近写在前面的话知识点（重点）拉格朗日插值公式Neville 插值公式牛顿插值公式拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式Hermite 插值龙格现象插值法小结 例题（重点）拉格朗日插值差商埃尔米特插值 习题22.1 （重点）2.22.32.42.52.6（重点）2.72.82.92.102.11（重点）2.122.132.142.152.16（重点）2.172.182.192.202.212.222.232.242.252.26

写在前面的话

书籍：《数值计算方法》 作者：黄云清、舒适、陈艳萍、金继承、文立平、石钟慈 编 / 科学出版社 本系列在于弄清考试重点，不在于深挖，供复习参考~主要的方式是通过写题来了解知识点。

知识点（重点） 拉格朗日插值公式

注意n+1个样本点，对应n次拉格朗日插值公式。

若一个n次代数多项式至少存在n+1个根，则它一定恒为0。这一点可证唯一性。

拉格朗日插值公式不具备承袭性，即不能利用原有计算结果，每当有一个新的样本点就需要重新计算。

在这里插入图片描述

Neville 插值公式

任意两个低次插值多项式线性组合得到高一次的插值多项式，简单来说就是存下低次拉格朗日插值公式的值，用于算高次的拉格朗日插值，也是一样，n+1个点对应n次。 在这里插入图片描述

牛顿插值公式

牛顿插值公式引入差商的概念。 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式

在这里插入图片描述

Hermite 插值

Hermite 插值相较于拉格朗日插值法引入逼近函数导数这一点。具体可以看看下面的例题，书里没有直接的公式。 在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

龙格现象

并不是说逼近的次数越高效果越好，在某些情况下反而会变差，这就是龙格现象。同时还要考虑误差的累计。 在这里插入图片描述

插值法小结

在这里插入图片描述

例题（重点） 拉格朗日插值

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

差商

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

埃尔米特插值

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

习题2 2.1 （重点）

带公式就行~ 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

2.2

第1问中当k=1时就是我们常见的拉格朗日插值公式。当i=j时，克罗内克符号为1，反之为0，所以当带入1到n中的一个数时，其他的情况都会为0，只有那个数会存活下来~ 第2问中用牛顿插值法，其中1阶均差步长为1，2阶均差步长为2。利用插值多项式的唯一性证明牛顿插值在f(x)为 l 0 ( x ) l_0(x) l0​(x)时是唯一的，且等于 l 0 ( x ) l_0(x) l0​(x)。

数值分析|牛顿插值|埃尔米特插值（突击速成，包含例题） 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.3

从题干中可以发现 ϵ \epsilon ϵ不见了，这说明在后面的过程中被当作趋于0的数了。题目又提到拉格朗日，这个p(x)一看就是拉格朗日公式推导过来的，只是中间这个导数需要通过变化得到。 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.4

这道题涉及到矩阵，和分段插值有关不是我们的重点。 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.5

拉格朗日虽然直观，但是需要重复计算。在计算机计算时，我每次来一个节点就得重新算一次，所以Neville插值公式出来了。每次增加一个节点，前面的计算工作均可利用。 在这里插入图片描述 答案有一个地方写错了，至于怎样是对的大家可以找规律~

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

2.6（重点）

带公式~注意阶数就行。 在这里插入图片描述 这题明显有问题，第一问应该是1，第二问才是0。根据上面的性质2.4就看得出来。 在这里插入图片描述

2.7

这题和前面的2.2很相似。 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.8

上三角表示前向，下三角表示反向，最后一个是中间开始。这题是前向，这题的证明没有答案，要证明也好证明，把上三角拆开写成后一项减前一项化简就好。

在这里插入图片描述

2.9

这题emmmmm感觉不会考吧，实在要证明套路也是一样的。 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.10

这题也比较容易看懂，两边分别看作两个函数，后面的可以被前一个利用来证明。 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.11（重点）

等距节点是考试的重点，前向啊，反向啊得清楚。前向是减后向是加，前向起始点是开头，后向起始点是结尾，不要搞反了。 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.12

两点三次的埃尔米特插值公式记住就行，然后带公式。 埃尔米特插值多项式（例题）Hermite 在这里插入图片描述

2.13

利用拉格朗日插值公式求解，分两种情况考虑a和b，把这两者都放在 p 2 n − 1 p_{2n-1} p2n−1​里面。 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.14

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.15

在这里插入图片描述

2.16（重点）

给出的答案没有算平方，取最大值就是x取中间值，相减就是h/2，但是没有算最后的平方，不知道这是故意把范围缩放还是写错了… 在这里插入图片描述

2.17

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.18

在这里插入图片描述

2.19

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.20

在这里插入图片描述

2.21

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.22

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.23

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.24

在这里插入图片描述

2.25

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

2.26

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述



【本文地址】

公司简介

联系我们

今日新闻

    推荐新闻

    专题文章
      CopyRight 2018-2019 实验室设备网 版权所有