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力的计算
力是推或拉。
通常在物体上的力是平衡的(不平衡的力会导致物体加速): 平衡 不平衡 无加速 加速度 例子:这个桥塔顶部的力是平衡的(它不在加速):悬索向下拉,左右力度相等,与桥塔向上的推力平衡。(桥塔在推吗?当然!如果悬索不是在塔顶,而是在你头顶,你需不需要向上推?) 我们可以做一个数学模型来模拟这些力: 把代表力的箭头头尾连接起来,箭头刚好环绕一圈,所以所有的力加起来是零(互相抵消): 力度平衡。 平衡的力被形容为处于均衡状态:运动也没有改变。 自由体图首先画个自由体图(也称示力图)) 在悬索桥的例子里,桥顶部的自由体图是: 自由体图 自由体图帮助我们清楚地分析物体承受的力。 例子:高速公路上的汽车在公路上飞驰的汽车受着什么力? 发动机不停发力,但为什么汽车不无限地加速? 因为驱动汽车前进的力与以下的力成平衡: 空气阻力(即是:空气抗拒被汽车推动), 滚动阻力,也叫滚动摩擦(轮胎抗拒变形)像这样: 自由体图 W 是汽车的重量, R1 和 R2 是轮胎的滚动阻力, N1 和 N2 是反作用力(抵消汽车的重量)。 注意:钢轮(像列车的车轮)的滚动阻力比较小,但在公路上就太滑了! 计算力是矢量。矢量有量值(大小)和放下能: 我们可以用有正确长度与方向的箭头来作为力的模型: 例子:欲穷千里目,更上一层楼大山站在峡谷观景台上,观景台由一根横梁和一根支柱支撑:
大山的体重是 80千克。 描述所有的力。
我们来看大山站立的地方所承受的力: 大山的体重地心引力把大山身体的 80千克质量向下拉。 力是质量乘以加速度:F = ma 地球表面的引力加速度是 9.81米/秒2,所以 a = 9.81米/秒2 F = 80千克 × 9.81米/秒2 F = 785牛顿 其他的力所有的力在平衡状态,所以箭头应该刚好环绕一圈: 我们可以用三角法来求力的数值。 三角形是个直角三角形,我们可以用三角函数来解。 求梁:已知邻边,未知对边,所以我们用正切: tan(60°) = 梁/785牛顿 梁/785牛顿 = tan(60°) 梁 = tan(60°) × 785牛顿 梁 = 1.732…… × 785牛顿 = 1360牛顿 求支柱:已知邻边,未知斜边,所以我们用余弦: cos(60°) = 785牛顿 / 支柱 支柱 × cos(60°) = 785牛顿 支柱 = 785牛顿 / cos(60°) 支柱 = 785牛顿 / 0.5 = 1570牛顿 就: 相对于大山的体重,梁和支柱承受的力相当大! 扭力(力矩)如果只有梁而没有支柱(叫悬臂)呢? 在没有支柱的情况下,有什么力呢? 自由体图像这样: 向上的力 R 抵消了向下的 重力。 如果只有这两个力,梁便会转个不停!但是,还有一个 "旋转效应" M,成为力矩(或叫扭力)把它抵消了: 力矩:力乘以垂直距离。 我们知道重力是 785牛顿,我们也需要知道垂直距离,在这个例子里是 3.2米。 M = 785牛顿 × 3.2米 = 2512牛顿米 力矩阻止了梁的旋转。
拿着钓鱼竿时你可以感觉到力矩。 除了举着钓鱼竿的重量,你也要阻止它向下旋转。 摩擦力 斜面上的箱子箱子重 100千克。 摩擦力够使箱子静止不动。 反作用力 R 垂直于斜面。 箱子不在加速,所以所有的力互相平衡: 100千克质量向下的地心引力是: W = 100千克 × 9.81米/秒2 = 981牛顿
用三角函数来解。 摩擦 f: sin(20°) = f/981牛顿 f = sin(20°) × 981牛顿 = 336牛顿 反作用力 N: cos(20°) = R/981牛顿 R = cos(20°) × 981牛顿 = 922牛顿 结果是: 绘画自由体图提示 尽量简化。通常一个方框就可以了。 代表力的箭头指着力施于物体的方向 用直的箭头来代表力 用弯的箭头来代表力矩 皮皮和森森拉箱子把大小和方向转换成 x 和 y: 极坐标里的 矢量 a 笛卡尔坐标里的 矢量 a你可以去这网页学习转换极坐标和笛卡尔坐标。以下是个简单总结: 将极坐标 (r,θ) 转换为笛卡尔坐标 (x,y) 将笛卡尔坐标 (x,y) 转换为极坐标 (r,θ) x = r × cos( θ ) y = r × sin( θ ) r = √ ( x2 + y2 ) θ = tan-1 ( y / x )现在我们来活学活用! 例子:拉箱子皮皮和森森在拉一个箱子(从上看): 皮皮向 60°的方向以 200牛顿的力拉 森森向 45°的方向以 120牛顿的力拉合起来的力是多少,向哪个方向? 把两个矢量头尾连接: 先转换成笛卡尔坐标(保留两个小数): 皮皮的矢量: x = r × cos( θ ) = 200 × cos(60°) = 200 × 0.5 = 100 y = r × sin( θ ) = 200 × sin(60°) = 200 × 0.8660 = 173.21森森的矢量: x = r × cos( θ ) = 120 × cos(-45°) = 120 × 0.7071 = 84.85 y = r × sin( θ ) = 120 × sin(-45°) = 120 × -0.7071 = −84.85这就是: 加起来: (100, 173.21) + (84.85, −84.85) = (184.85, 88.36) 答案是正确的,不过我们把它转换到极坐标,因为问题是用极坐标的: r = √ ( x2 + y2 ) = √ ( 184.852 + 88.362 ) = 204.88 θ = tan-1 ( y / x ) = tan-1 ( 88.36 / 184.85 ) = 25.5°结果(舍入后)是: 最后结果是这样: "并肩作战"会好些! 力 加速度 物理索引 |
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